Теория вероятности и математическая статистика 03
Контрольные задания
І. Теория вероятностей.
1А. Определение сложных событий.
Задача 1.4. Производится три броска по баскетбольному кольцу. Определить сложное событие, состоящее в попадании в кольцо двух мячей.
Введем обозначения:
А1 – Попадание при первом броске
А2 – Попадание при втором броске
А3 – Попадание при третьем броске
Тогда соответственно
- Промах при первом броске
- Промах при первом броске
- Промах при первом броске
Событие В заключается в том, что произошли два какие-то события, то есть или события А1 и А2 (а А3 не произошло), или А1 и А3 (а А2 не произошло), или А2 и А3 (а А1 не произошло).
Следовательно, сложное событие B, состоящее в попадании в кольцо двух мячей, можно определить следующим образом:
2А. Способы определения вероятностей.
Задача 2.4. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынули один шар и положили в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
Рассмотрим множество всех шаров в урне X, состоящее из (А+В) элементов.
После того как вынули один шар и он оказался белым в урне осталось (А+В-1) шаров, из которых (А-1) белых
Определим общее число n элементарных исходов и число исходов, благоприятных указанным событиям.
Общее число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 1 шар из (А+В-1) шаров, то есть равно числу (А+В-1).
Так как это число конечно и все исходы равновероятны, то имеет место классическая схема определения вероятности (, где n – число элементарных исходов в пространстве Ω, k – число элементарных исходов, благоприятных событию С).
Определим вероятность события С, что второй шар тоже будет белым:
Число элементарных исходов, благоприятных событию А, равно (А-1)
То есть, имеем:
Ответ:
3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Задача 3.4. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из неё вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные.
Решение
Введем события:
А - оба вынутые шара черные.
А1 – первый раз извлечен чёрный шар,
А2 – второй раз извлечен чёрный шар,
Тогда, событие А произойдет, если произойдут оба события А1 и А2, то есть
По теореме умножения вероятностей
Так как всего 26 шаров и из них 6 чёрных, то
После извлечения одного чёрного шара останется 25 шаров, из которых 5 шаров чёрные, следовательно,
Таким образом,
Ответ:
5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.
Задача 5.4. Вероятность попадания в баскетбольное кольцо мяча при одном броске равна 0.8. Составить ряд распределения и определить математическое ожидание , характеризующее результат попадания мяча в кольцо.
Решение
Случайная величина ξ − число попаданий мяча в корзину при одном броске – дискретная случайная величина, так как множество ее значений конечно.
Определим вероятность каждого значения случайной величины. Очевидно,
- вероятность промаха при одном броске.
- вероятность попадания в кольцо при одном броске.
Заметим выполнимость условия нормировки: .
Представим закон распределения в виде таблицы:
Математическое ожидание:
6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.
Задача 6.4. Случайная величина имеет плотность распределения
. Найти функцию распределения F(x).
Решение
Найдем функцию распределения F(X) случайной величины .
Функция F(X), которая определяется равенством ,
Непосредственно из определения следует равенство .
Тогда, при : ,
При : ,
При :.
Получили
Контрольные задания
ІІ. Математическая статистика
13А. Выборочный метод математической статистики
Пример 13.4. По ряду распределения построить статистическую функцию распределения
Статистической функцией распределения случайной величины X называется частота события X < х в данном статистическом материале: F*(х) = Р*(Х<х).
По данным таблицы находим функцию распределения:
14А. Статистические оценки параметров распределения.
14.1.Точечные оценки параметров распределения
Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:
Найти оценку математического ожидания и дисперсии
Решение
1.Для оценки математического ожидания используем формулу
В нашем случае 2. Оценку для дисперсии проведём:
А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].
Используем формулу
В нашем случае: б) когда неизвестно математическое ожидание .
В этом случае используем статистическое математическое ожидание и формулу
В нашем случае:
14.2. Интервальная оценка параметров распределения
Определить доверительный интервал.
Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины , если по результатам N=104 измерений получены оценки
Решение
Используем формулу для доверительного интервала
Значение табличной функции положим
В нашем случае
Тогда
Определить доверительный интервал.
Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N = 104 измерений.
Решение
Оценку для дисперсии проведём:
А) когда известно математическое ожидание и
Используем формулу Значение табличной функции положим
В нашем случае
Тогда
Б) когда неизвестно математическое ожидание и
Используем формулу
В нашем случае
Тогда
16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки
Примеры 1.10. Дана выборка объёма , заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.
Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии . Построить график линии регрессии относительно точек таблицы. Найти остаточную дисперсию.
таблица №4
Решение
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
A•n + b∑x = ∑y
A∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
5a + -2.5 b = 7.5
-2.5 a + 1.88 b = -4.52
Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
Y = -1.232 x + 0.884
Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Ковариация. (корреляционный момент)
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и обратная.
1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -1.23 x + 0.88
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу
Остаточная дисперсия
В нашем случае
Построим график линии регрессии относительно точек таблицы.
< Предыдущая | Следующая > |
---|