Контрольная работа по мат. анализу 30
Вар 8
Задание 1.
Найти неопределенные интегралы.
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Разложим функция под знаком интеграла на элементарные дроби:
Следовательно,
Е)
Задание 2.
Вычислить определенные интегралы.
Задание 3.
Вычислить определённые интегралы
Решение:
Задание 4.
Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.
8. ;
Решение:
Выполним чертеж:
Задание 5.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольных координатах.
Решение:
Длина дуги плоской кривой вычисляется по формуле::
Найдем производную функции
Откуда получаем длину дуги кривой:
Задание 6.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
Решение:
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле:
Найдем производную функции
Откуда получаем длину дуги кривой:
Задание 7.
Исследовать сходимость несобственных интегралов и вычислить.
Решение:
Нижний предел интегрирования равен «бесконечности». Следовательно, необходимо перейти к пределам:
Т. о. несобственный интеграл сходится. И его значение равно
Задание 8.
Найти области определения данных функций. Сделать чертежи.
Решение
Функция определена при всех переменных х и у, в которых выражение под знаком корня больше 0. Т. о.
Т. о. получили множество точек, находящихся внутри окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1. Точки, лежащие на окружности, не принадлежат области:
Задание 9.
Найти Для функций:
Решение:
Находим первые производные:
Находим частные производные второго порядка:
Задание 10.
Исследовать на экстремум следующие функции:
8. Z= 1+ 6X - X2 - Xy - Y2
Решение:
Находим стационарные точки, т. е. точки в которых выполняется условие:
Находим частные производные:
Откуда находим:
Т. о. получили единственную стационарную точку.
Вычислим значение выражения в полученной точке М, где
Находим частные производные второго порядка:
Вычисляем их значения в точке М:
Откуда получаем:
Так найденное значение больше нуля, то в указанной точке имеет место экстремум. Тип экстремума определяем по знаку величины А. Т. к. А<0, то в точке М функция достигает максимума.
Задание 11.
8. На линии Найти точки, в которых касательная к этой линии параллельна плоскости X + 3Y + 2Z - 10 = 0.
Решение:
Составим уравнение касательной плоскости к данной линии, заданной параметрическим уравнениями, воспользовавшись формулой:
Находим производные по t:
Т. о. касательная имеет уравнение:
Т. к. указанные плоскости параллельны, то они имеют один и тот же направляющий вектор. Их коэффициенты должны быть пропорциональны. Т. е
Данное равенство возможно только при t = 0. Однако в этом случае плоскость вырождается в точку.
Следовательно, не существует на указанной линии точек, соответствующих условию задачи.
< Предыдущая | Следующая > |
---|