logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Контрольная работа по мат. анализу 30

Вар 8

Задание 1.

Найти неопределенные интегралы.

Решение:

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Разложим функция под знаком интеграла на элементарные дроби:

Следовательно,

Е)

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы.

Решение:

Задание 3.

Вычислить определённые интегралы

Решение:

Задание 4.

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

8. ;

Решение:

Выполним чертеж:

Задание 5.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольных координатах.

Решение:

Длина дуги плоской кривой вычисляется по формуле::

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 6.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле:

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 7.

Исследовать сходимость несобственных интегралов и вычислить.

Решение:

Нижний предел интегрирования равен «бесконечности». Следовательно, необходимо перейти к пределам:

Т. о. несобственный интеграл сходится. И его значение равно

Задание 8.

Найти области определения данных функций. Сделать чертежи.

Решение

Функция определена при всех переменных х и у, в которых выражение под знаком корня больше 0. Т. о.

Т. о. получили множество точек, находящихся внутри окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1. Точки, лежащие на окружности, не принадлежат области:

Задание 9.

Найти Для функций:

Решение:

Находим первые производные:

Находим частные производные второго порядка:

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции:

8. Z= 1+ 6X - X2 - Xy - Y2

Решение:

Находим стационарные точки, т. е. точки в которых выполняется условие:

Находим частные производные:

Откуда находим:

Т. о. получили единственную стационарную точку.

Вычислим значение выражения в полученной точке М, где

Находим частные производные второго порядка:

Вычисляем их значения в точке М:

Откуда получаем:

Так найденное значение больше нуля, то в указанной точке имеет место экстремум. Тип экстремума определяем по знаку величины А. Т. к. А<0, то в точке М функция достигает максимума.

Задание 11.

8. На линии Найти точки, в которых касательная к этой линии параллельна плоскости X + 3Y + 2Z - 10 = 0.

Решение:

Составим уравнение касательной плоскости к данной линии, заданной параметрическим уравнениями, воспользовавшись формулой:

Находим производные по t:

Т. о. касательная имеет уравнение:

Т. к. указанные плоскости параллельны, то они имеют один и тот же направляющий вектор. Их коэффициенты должны быть пропорциональны. Т. е

Данное равенство возможно только при t = 0. Однако в этом случае плоскость вырождается в точку.

Следовательно, не существует на указанной линии точек, соответствующих условию задачи.

 
Яндекс.Метрика
Наверх