Теория пределов

Вариант 3

Задача 1.1. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.2. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.3. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.4. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.5. Вычислить предел функции.

Задача 1.6. Вычислить предел функции.

Задача 1.7. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при :

, , . Тогда получим:

Задача 1.8. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при : , Тогда получим:

Задача 1.9. Вычислить предел функции.

Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при :

~x,

Задача 1.10. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер и построить график функции.

Решение

Построим график заданной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

, , . Так как , следовательно, функция в этой точке непрерывна/

, . Так как , то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок

Задача 1.11. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер.

Решение

Возможная точка разрыва

В точке :

,

Следовательно, в т. функция имеет разрыв второго рода.

Задача 2.1. Вычислить производную

Решение

Задача 2.2. Вычислить производную

Решение

Задача 2.3. Вычислить производную

Решение

Задача 2.4. Вычислить производную

Решение

Задача 2.5. Вычислить производную

Решение

Задача 2.6. Вычислить производную

Решение

Задача 2.7. Вычислить производную

Решение

Прологарифмируем данную функцию:

Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

Отсюда:

Задача 2.8. Вычислить производную функции, заданной параметрически.

Решение

Находим

и

. Отсюда

Задача 2.9. Вычислить производную Неявно заданной функции.

Решение

Дифференцируем обе части равенства по х:

Разрешаем равенство относительно :

, тогда

Задача 2.10. Вычислить производную функции при указанном значении аргумента.

,

Решение

Тогда:

Задача 2.11. Вычислить предел функции используя правило Лопиталя.

Задача 2.12. Вычислить вторую производную .

Решение

Вычислим сначала первую производную:

Теперь вторую:

< Предыдущая		Следующая >