Однородное дифференциальное уравнение и двойной интеграл

1. 3y′ = + 8 + 4

Решение

Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал , и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Получили ,

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно,

Ответ:

2. y′ + = x2, y(1) = 1

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие y(1) = 1

Тогда окончательно

Ответ:

3. tg x y′′′ = 2y′′

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно, понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

4. y”+2y’+5y=-2sinx

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+2r+5=0

Корни характеристического уравнения:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) =-2sinx. Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = -2, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α + βi = i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Вычисляем производные:

Y' = - Asin(x) + Bcos(x)

Y'' = - Acos(x) - Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

-Acos(x) - Bsin(x)+2(-Asin(x) + Bcos(x))+5(Acos(x) + Bsin(x))=-2sinx

или -2Asin(x) + 2Bcos(x)+4Acos(x) + 4Bsin(x)=-2sinx

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

-2A +4B = -2

4A+2В = 0