Математический анализ (8 задач)

Задача 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области , заданной системой неравенств.

Решение:

Построим область :

Ищем стационарные точки:

Данная точка лежит на границе области D,

Значение функции в ней:

.

На границе области:

1) :

2) :

3) :

Итак, наибольшее значение 0; наименьшее -0,375.

Задача 2. В повторном интеграле изменить порядок интегрирования.

Решение:

Построим данную область:

Тогда

.

Задача 3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси ОY. При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

.

Решение:

,

Где  – четверть окружности, соответствующая углу АВС. Тогда

Задача 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела , заданного неравенствами

.

Решение:

Тело представляет собой часть конуса внутри эллиптического параболоида.

Проекцией на плоскость хОу будет окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Тогда

Задача 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля , задаваемого векторным произведением , если

.

Решение:

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл

По замкнутому контуру L: , пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

Решение:

Построим контур L:

По формуле Грина:

Задача 3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограничивающую указанное тело G, в направлении внешней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непосредственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

;

Решение:

Тело ограничено двумя поверхностями: параболоидом и конусом.

Непосредственно:

Вектор нормали к параболоиду:

Поток относительно конуса:

Вектор нормали к параболоиду:

Общий поток:

По формуле Гаусса–Остроградского:

Результаты совпали.

Задача 4. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру, ограничивающему указанную поверхность . Задачу решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный интеграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура выбрать произвольно.

;

Решение:

По формуле Стокса:

Непосредственно: