Эконометрика

Вариант 1

Задание 1. Модель парной линейной регрессии.

Имеются данные о размере среднемесячных доходов в разных группах семей

Номер группы

Среднедушевой денежный доход в месяц, руб., X

Доля оплаты труда в структуре доходов семьи, %, Y

1

79,8

64,2

2

152,1

66,1

3

199,3

69,0

4

240,8

70,6

5

282,4

72,4

6

301,8

74,3

7

385,3

76,0

8

457,8

77,1

9

577,4

78,4

Задания:

1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости a =0,05. Сделать выводы

2. Построить линейное уравнение парной регрессии Y на X и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.

3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F-критерия Фишера.

4. Выполнить прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи Y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода X, составляющем 111% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.

Решение: Построим поле корреляции зависимости доли оплаты труда в структуре доходов семьи от среднедушевого денежного дохода в месяц.

Точки на построенном графике размещаются вблизи кривой, напоминающей по форме Прямую, поэтому можно предположить, что между указанными величинами существует Линейная зависимость вида .

Для расчета линейного коэффициента парной корреляции и параметров линейной регрессии составим вспомогательную таблицу.

№ п/п

X

Y

X×Y

X2

Y2

1

79,8

64,2

5123,16

6368,04

4121,64

2

152,1

66,1

10053,81

23134,41

4369,21

3

199,3

69,0

13751,70

39720,49

4761,00

4

240,8

70,6

17000,48

57984,64

4984,36

5

282,4

72,4

20445,76

79749,76

5241,76

6

301,8

74,3

22423,74

91083,24

5520,49

7

385,3

76,0

29282,80

148456,09

5776,00

8

457,8

77,1

35296,38

209580,84

5944,41

9

577,4

78,4

45268,16

333390,76

6146,56

S

2676,7

648,1

198645,99

989468,27

46865,43

Среднее

297,41

72,01

22071,78

109940,92

5207,27

Вычислим коэффициент корреляции. Используем следующую формулу:

= 0,9568.

Можно сказать, что между рассматриваемыми признаками существует Прямая тесная Корреляционная связь.

Среднюю ошибку коэффициента корреляции определим по формуле:

= 0,032.

Найдем табличное значение TТабл по таблице распределения Стьюдента для
a = 0,05 и числе степеней свободы K = NM – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.

TТабл(0,05; 7) = 2,36.

Запишем доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Доверительный интервал не включает число 0, поэтому при заданном уровне значимости коэффициент корреляции является статистически значимым.

Вычислим параметры уравнения регрессии.

= 0,03.

= 72,01 – 0,03×297,41 = 63,09.

Получим следующее уравнение: .

Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем T-критерий Стьюдента по формуле:

= 23,04.

Фактическое значение по абсолютной величине больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между рассматриваемыми признаками.

Проверим значимость оценок теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

Для определения статистической значимости коэффициентов A и B найдем T-статистики Стьюдента:

Рассчитаем по полученному уравнению теоретические значения. Составим вспомогательную таблицу.

№ п/п

X

Y

1

79,8

64,2

65,48

1,6384

47354,1

2

152,1

66,1

67,65

2,4025

21115,0

3

199,3

69,0

69,07

0,0049

9625,6

4

240,8

70,6

70,31

0,0841

3204,7

5

282,4

72,4

71,56

0,7056

225,3

6

301,8

74,3

72,14

4,6656

19,3

7

385,3

76,0

74,65

1,8225

7724,7

8

457,8

77,1

76,82

0,0784

25725,0

9

577,4

78,4

80,41

4,0401

78394,4

S

2676,7

648,1

648,09

15,4421

193388,1

Вычислим стандартные ошибки коэффициентов уравнения.

= 1,2.

= 0,003.

Вычислим T-статистики.

Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что и , т. е. оценки A и B теоретических коэффициентов регрессии статистически значимы.

Сделаем рисунок.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,95682= 0,915 = 91,5%.

Таким образом, вариация результата Y на 91,5% объясняется вариацией фактора X.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

= 75,81.

Найдем табличное значение Fтабл по таблице критических точек Фишера для
a = 0,05; K1 = M = 1 (число факторов), K2 = NM – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.

Fтабл(0,05; 1; 7) = 5,59.

Поскольку F > FТабл, уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом Является статистически значимым.

Выполним прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода x, составляющем 111% от среднего уровня.

XP = 297,41 × 1,11 = 330,1.

Вычислим прогнозное значение Yp с помощью уравнения регрессии.

» 73%.

Доверительный интервал прогноза имеет вид

(УPTкр×My, УP + Tкр×My),

Где , M = 2 – число параметров уравнения.

= 1,695 » 1,7.

Запишем доверительный интервал прогноза:

Þ

Данный прогноз является надежным, поскольку доверительный интервал не включает число 0, точность прогноза составляет 4.

Задание 2. Модель парной нелинейной регрессии.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.

Район

Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., X

Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., Y

Брянская обл.

178

240

Владимирская обл.

202

226

Ивановская обл.

197

221

Калужская обл.

201

226

Костромская обл.

189

220

Орловская обл.

166

232

Рязанская обл.

199

215

Смоленская обл.

180

220

Тверская обл.

181

222

Тульская обл.

186

231

Ярославская обл.

250

229

Задания:

1. Построить поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитать параметры уравнений полулогарифмической () и степенной () парной регрессии. Сделать рисунки.

2. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Сделать выводы. Оценить качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации. Сделать выводы.

3. По значениям рассчитанных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии. Дать экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии

4. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.

Решение: Решение: Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим поле корреляции. Для этого построим в системе координат точки, у которых первая координата X, а вторая – Y.

Получим следующий рисунок.

По внешнему виду диаграммы рассеяния трудно предположить, какая зависимость существует между указанными показателями.

Построение полулогарифмической модели регрессии.

Уравнение логарифмической кривой: .

Обозначим:

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B×X.

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

№ п/п

X

Y

X = ln(X)

Xy

X2

Y2

Ai

1

178

240

5,1818

1243,63

26,85

57600

226,40

206,314

184,904

6,006

2

202

226

5,3083

1199,67

28,18

51076

225,17

0,132

0,694

0,370

3

197

221

5,2832

1167,59

27,91

48841

225,41

21,496

19,464

1,957

4

201

226

5,3033

1198,55

28,13

51076

225,22

0,132

0,615

0,348

5

189

220

5,2417

1153,18

27,48

48400

225,82

31,769

33,833

2,576

6

166

232

5,1120

1185,98

26,13

53824

227,08

40,496

24,172

2,165

7

199

215

5,2933

1138,06

28,02

46225

225,31

113,132

106,362

4,577

8

180

220

5,1930

1142,45

26,97

48400

226,29

31,769

39,601

2,781

9

181

222

5,1985

1154,07

27,02

49284

226,24

13,223

17,968

1,874

10

186

231

5,2257

1207,15

27,31

53361

225,97

28,769

25,273

2,225

11

250

229

5,5215

1264,41

30,49

52441

223,09

11,314

34,980

2,651

Итого

2129

2482

57,862

13054,74

304,48

560528

2482,00

498,545

487,867

27,530

Среднее

193,5

225,6

5,260

1186,79

27,68

50957,091

225,636

45,322

44,352

2,503


= -9,76.

= 225,6 – (-9,76)×5,26 = 276,99.

Уравнение модели имеет вид:

Определим индекс корреляции

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,14642= 0,021 = 2,1%.

Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.

Сделаем рисунок.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

= -0,04%.

Коэффициент эластичности показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,04%.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:

= 2,5%.

Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены и . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

№ п/п

X

Y

X = ln(X)

Y = ln(Y)

XY

X2

Y2

Ai

1

178

240

5,1818

5,4806

28,3995

26,851

30,037

226,3

206,3

188,391

241,661

6,07

2

202

226

5,3083

5,4205

28,7737

28,178

29,382

225,1

0,132

0,835

71,479

0,406

3

197

221

5,2832

5,3982

28,5196

27,912

29,140

225,3

21,496

18,671

11,934

1,918

4

201

226

5,3033

5,4205

28,7467

28,125

29,382

225,1

0,132

0,753

55,570

0,385

5

189

220

5,2417

5,3936

28,2720

27,476

29,091

225,7

31,769

32,607

20,661

2,530

6

166

232

5,1120

5,4467

27,8437

26,132

29,667

226,9

40,496

25,675

758,752

2,233

7

199

215

5,2933

5,3706

28,4284

28,019

28,844

225,2

113,132

104,576

29,752

4,540

8

180

220

5,1930

5,3936

28,0089

26,967

29,091

226,2

31,769

38,059

183,479

2,728

9

181

222

5,1985

5,4027

28,0858

27,024

29,189

226,1

13,223

16,950

157,388

1,821

10

186

231

5,2257

5,4424

28,4407

27,308

29,620

225,9

28,769

26,413

56,934

2,275

11

250

229

5,5215

5,4337

30,0021

30,487

29,525

223,1

11,314

34,846

3187,116

2,646

Итого

2129

2482

57,862

59,603

313,521

304,479

322,969

2480,927

498,545

487,777

4774,727

27,548

Среднее

193,5

225,6

5,260

5,418

28,502

27,680

29,361

225,539

45,322

44,343

434,066

2,504

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + BX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= -0,042.

= 5,418 – 0,959×5,26 = 5,637.

Перейдем к исходным переменным X и Y, выполнив потенцирование данного уравнения.

A = eA = e5,637 = 280,76

Получим уравнение степенной модели регрессии: .

Определим индекс корреляции

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,1472= 0,021 = 2,1%.

Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.

Сделаем рисунок.

Для степенной модели средний коэффициент эластичности равен коэффициенту B.

= -0,042%.

Коэффициент эластичности показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,042%.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:

= 2,5%.

Сводная таблица вычислений

Параметры

Модель

Полулогарифмическая

Степенная

Уравнение связи

Индекс корреляции

0,1464

0,147

Коэффициент детерминации

0,021

0,021

Средняя ошибка аппроксимации, %

2,5

2,5

Для выявления формы связи между указанными признаками были построены полулогарифмическая и степенная модели регрессии. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволил предположить, что из перечисленных моделей более адекватной является степенная модель, поскольку для нее индекс корреляции принимает наибольшее значение R = 0,147, свидетельствующий о том, что между рассматриваемыми признаками наблюдается Слабая корреляционная связь.

Рассчитаем прогнозное значение результата по степенной модели регрессии, если прогнозируется увеличение значения фактора на 10% от среднего уровня.

Прогнозное значение составит:

= 193,5 × 1,1 = 212,9 тыс. р., тогда прогнозное значение Y составит:

= 224,6 тыс. р.

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости a = 0,05.

Вычислим Среднюю стандартную ошибку прогноза По следующей формуле:

, где

Получаем: = 7,55.

Найдем предельную ошибку прогноза , где для доверительной вероятности 0,95 значение T составляет 1,96.

= 14,8.

Запишем доверительный интервал прогноза.

= 224,6 – 14,8 = 209,8 тыс. р.

= 224,6 + 14,8 = 239,4 тыс. р.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение среднего размера назначенных ежемесячных пенсий будет находиться в пределах от 209,8 тыс. р. до 239,4 тыс. р.

Задание 3. Моделирование временных рядов

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995-1999 гг.

Номер квартала

Товарооборот % к предыдущему периоду

Номер квартала

Товарооборот % к предыдущему периоду

1

100

11

98,8

2

93,9

12

101,9

3

96,5

13

113,1

4

101,8

14

98,4

5

107,8

15

97,3

6

96,3

16

112,1

7

95,7

17

97,6

8

98,2

18

93,7

9

104

19

114,3

10

99

20

108,4

Задания:

1. Построить график данного временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

2. Рассчитать сезонную компоненты временного ряда и построить его Мультипликативную Модель.

3. Рассчитать трендовую компоненту временного ряда и построить его график

4. Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

Решение: Пронумеруем указанные месяцы от 1 до 24 и построим график временного ряда.

Полученный график показывает, что а данном временном ряду присутствуют сезонные колебания.

Построим мультипликативную модель временного ряда.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Построение мультипликативной моделей сведем к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1)  Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2)  Расчет значений сезонной компоненты S.

3)  Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных T×E.

4)  Аналитическое выравнивание уровней T×E и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5)  Расчет полученных по модели значений T×E.

6)  Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре месяца со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые уровни объема продаж (гр. 3 табл. 2.1).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 2.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 2.1).

Таблица 2.1

№ месяца, T

Товарооборот, Yi

Итого за четыре месяца

Скользящая средняя за четыре месяца

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

2

3

4

5

6

1

100,0

2

93,9

392

98

3

96,5

400

100

99

0,975

4

101,8

402

100,5

100,25

1,015

5

107,8

402

100,5

100,5

1,073

6

96,3

398

99,5

100

0,963

7

95,7

394

98,5

99

0,967

8

98,2

397

99,25

98,875

0,993

9

104,0

400

100

99,625

1,044

10

99,0

404

101

100,5

0,985

11

98,8

413

103,25

102,125

0,967

12

101,9

412

103

103,125

0,988

13

113,1

411

102,75

102,875

1,099

14

98,4

309

77,25

90

1,093

15

97,3

196

49

63,125

1,541

16

112,1

303

75,75

62,375

1,797

17

97,6

418

104,5

90,125

1,083

18

93,7

414

103,5

104

0,901

19

114,3

20

108,4

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 2.1). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 2.2). Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты Si. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 2.2

Показатели

Год

№ квартала, I

I

II

III

IV

1

– 

0,975

1,015

2

1,073

0,963

0,967

0,993

3

1,044

0,985

0,967

0,988

4

1,099

1,093

1,541

1,797

5

1,083

0,901

Всего за I-й квартал

4,299

3,942

4,45

4,793

Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала,

0,860

0,788

0,890

0,959

Скорректированная сезонная компонента,

0,984

0,901

1,018

1,097

Имеем: 0,860 + 0,788 + 0,890 + 0,959 = 3,497.

Определяем корректирующий коэффициент: K = 4 : 3,497 = 1,144.

Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент K.

Проверяем условие: равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

0,984 + 0,901 + 1,018 + 1,097 = 4.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (гр. 4 табл. 2.3), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 2.3

T

Yt

St

T

T×S

1

2

3

4

5

6

7

1

100,0

0,984

101,6

100,02

98,42

1,016

2

93,9

0,901

104,2

100,19

90,27

1,040

3

96,5

1,018

94,8

100,36

102,17

0,945

4

101,8

1,097

92,8

100,53

110,28

0,923

5

107,8

0,984

109,6

100,7

99,09

1,088

6

96,3

0,901

106,9

100,87

90,88

1,060

7

95,7

1,018

94,0

101,04

102,86

0,930

8

98,2

1,097

89,5

101,21

111,03

0,884

9

104,0

0,984

105,7

101,38

99,76

1,043

10

99,0

0,901

109,9

101,55

91,50

1,082

11

98,8

1,018

97,1

101,72

103,55

0,954

12

101,9

1,097

92,9

101,89

111,77

0,912

13

113,1

0,984

114,9

102,06

100,43

1,126

14

98,4

0,901

109,2

102,23

92,11

1,068

15

97,3

1,018

95,6

102,4

104,24

0,933

16

112,1

1,097

102,2

102,57

112,52

0,996

17

97,6

0,984

99,2

102,74

101,10

0,965

18

93,7

0,901

104,0

102,91

92,72

1,011

19

114,3

1,018

112,3

103,08

104,94

1,089

20

108,4

1,097

98,8

103,25

113,27

0,957

Среднее

101,4

1,0011

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T×E. Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 2.4

T

T2

1

2

3

4

5

6

7

1

101,6

1

101,6

2,5

1,58

2,0

2

104,2

4

208,4

13,2

3,87

56,3

3

94,8

9

284,4

32,1

5,88

24,0

4

92,8

16

371,2

71,9

8,33

0,2

5

109,6

25

548

75,9

8,08

41,0

6

106,9

36

641,4

29,4

5,63

26,0

7

94,0

49

658

51,3

7,48

32,5

8

89,5

64

716

164,6

13,07

10,2

9

105,7

81

951,3

18,0

4,08

6,8

10

109,9

100

1099

56,3

7,58

5,8

11

97,1

121

1068,1

22,6

4,81

6,8

12

92,9

144

1114,8

97,4

9,69

0,3

13

114,9

169

1493,7

160,5

11,20

136,9

14

109,2

196

1528,8

39,6

6,39

9,0

15

95,6

225

1434

48,2

7,13

16,8

20

102,2

400

2044

0,2

0,37

114,5

21

99,2

441

2083,2

12,3

3,59

14,4

22

104,0

484

2288

1,0

1,05

59,3

23

112,3

529

2582,9

87,6

8,19

166,4

24

98,8

576

2371,2

23,7

4,49

49,0

Сумма

230

2035,2

3670

23588

1008,3

122,49

778,2

Среднее

11,5

101,8

183,5

1179,4

50,4

6,12

38,91

Вычислим параметры уравнения тренда.

= 0,17.

= 99,85.

В результате получим уравнение тренда:

T = 99,85 + 0,17×T.

Подставляя в это уравнение значения T = 1,2,…,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.3).

Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 2.3). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.

Расчет ошибки в мультипликативной модели произведем по формуле:

Средняя абсолютная ошибка составила 1,0011 (см. гр. 7 табл. 2.3).

Рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок .

Используя 5-й столбец таблицы 2.4, получим:

= 7,099.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку: .

Используя 6-й столбец таблицы 2.4, получим, что средняя относительная ошибка составила 6,12%, т. е. построенная модель достаточно точно описывает динамику данного явления.

Яндекс.Метрика