Числовые ряды, теория вероятностей

Вариант 26

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

501.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

522.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

553.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

Тогда ,

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвёртый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,

576. Функцию в интервале (0, p) разложить в ряд синусов.

Решение

Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-p;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

585.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

616.

Решение

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

627.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+r=0

Корни характеристического уравнения: r1 =0, r2 =-1.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

667.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

696. Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

Решение

Обозначим

- событие срабатывание системы пожарной защиты. Р(А)=0,7

- событие не срабатывание системы пожарной защиты. Р()=0,3

- событие эвакуации персонала до начала воздействия ОФП. Р(В)=0,3

- событие эвакуации персонала после начала воздействия ОФП. Р()=0,7

- событие воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р(С)=0,7

- событие не воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р()=0,3

- событие воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р(D)=0,4

- событие не воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р()=0,6

Необходимо найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ, то есть вероятность происхождения последовательности событий , , , D.

По теореме умножения

Р(.)=0,3*0,7*0,7*0,4=0,0588

Ответ: Р(.)=0,0588

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

711.

Решение

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения:

Находим q=1-0,8=0,2

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(0)=0,3989. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

738. А=45, S=5, A=40, B=48, D=3.

Решение

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=40 и b=48. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=45 и d=3. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 42 до 48 см, составляет

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

757.