06. Примеры доказательств тождеств с множествами

Пример 1. Доказать или опровергнуть справедливость тождества(AB)C=(AC)(BC).

Доказательство. Докажем, используя метод взаимного включения. Пусть(AB)C=E, A(AC) (BC)=F.Тогда необходимо доказать или опровергнуть следующее:

EF & FE.

1. Докажем необходимость: EF.

AEA(AB)C A(AB)& aC (aA aB)& aC a(AC) a( BC) a (AC) (BC)A∈F.

2. Докажем достаточность:FE

AFA(AC) (BC)A(AC) a( BC)(aA & aC)(aВ& aC) A(AB)& aC a(AB)CAE.

3. Следовательно, E=F, т. е. исходное тождество справедливо.

Пример 2. Доказать или опровергнуть справедливость тождества A((AB)(AB))=.

Доказательство. Докажем методом от противного: предположим, что это выражение не равно пустому множеству.

AA((AB)(AB))AA & a((AB)(AB))AA & (a(AB)& a(AB))AA & (aA & aB) &(aA aB)

Получаем противоречие: элемент одновременно принадлежит и не принадлежит множеству . Значит, первоначальное предположение неверно и исходное тождество справедливо, т. е. равно .

Пример 3. Доказать, чтоABBA’.

Доказательство. Пусть А и В – подмножества некоторого универсума U, АB

XU, xA xB

XU, xA xB

XU, XBXA

Значит BA.

Пример 4.Доказать(AB)C=(AC) (BC).

Доказательство. Докажем, используя геометрический метод. Построим диаграммы Эйлера-Венна для множеств(AB)C И (AC) (BC):

На первой диаграмме множество (AB)CВыделено черной штриховкой, на второй множество (AC) – светлой, множество (BC) – серой, а множество(AC) (BC)Является их объединением. Сравнивая эти два рисунка, можно сделать вывод, что эти множества равны, следовательно, тождество доказано.

Яндекс.Метрика