logo

Решение контрольных по математике!!!

09. Распределение хи квадрат

Пусть имеется N независимых случайных величин x1, x2, ..., xn, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется “распределение c2” или “распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число N называется Числом степеней свободы.

При N > 1 график плотности распределения случайной величины c2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины c2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения c2. Обычно такая таблица позволяет

Q

N

0,99

0,975

0,95

...

0,1

0,05

0,01

1

0,0315

0,0398

0,0239

...

2,71

3,84

6,63

...

...

...

...

...

...

...

...

10

2,56

3,25

3,94

...

16,0

18,3

23,2

...

...

...

...

...

...

...

...

Таблица 1.

По вероятности Q и по числу степеней свободы N Определить так называемый Квантиль CQ2, если Q и cQ2 связаны соотношением

P(c2 > cQ2) = Q.

Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина c2 примет значение, большее чем определенное значение cQ2, равна Q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения c2. Из него видно, что случайная величина c2 с 10-ю степенями свободы с вероятностью Q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью Q = 0,975 превышает 0,00098.

Задача. Найти интервал (c12, c22), в который случайная величина c2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения c2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P(c2 < c12) = P(c2 > c22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)

Тогда P(c12 < c2 < c22) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: c22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(c2 > c12) = 0,95. Из таблицы 1. определяем: c12 = 3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины c2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).

 
Яндекс.Метрика
Наверх