logo

Решение контрольных по математике!!!

10. Распределение Стьюдента

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида

,

Где x и h – независимые случайные величины, причем x – нормально распределенная случайная величина с параметрами MX = 0 и DX = 1, а h распределена по закону c2 c K степенями свободы.

Закон распределения случайной величины T Называется Законом Распределения Стьюдента с K Степенями свободы.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распре­деления схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы K по вероятности Q определить значение Tq, для которого выполняется соотношение P(|T| > Tq) = Q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

Q

K

0,1

0,05

...

0,01

0,005

...

1

6,314

12,71

...

63,57

318

...

...

...

...

...

...

...

...

12

1,782

2,179

...

3,055

3,428

...

...

...

...

...

...

...

...

Таблица 2

Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(–X < T < X) = P(|T| < X) = 1 – P(|T| ³ X) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(|T| ³ X) = 0,1 , (N = 12).

Определяем из таблицы: X = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Задача. Найти значение X Из условия P(T > X) = 0,995 , где T – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки X1 равна 0,995 , следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти X1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: X1= – x,
X2 = X, причем X определяется из условия
P(|T| > X) = 0,01. Из таблицы 2 находим: X = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

P(T > –3,055) = 0,995.

 
Яндекс.Метрика
Наверх