45. Основная теорема о вычетах

Теорема: Пусть - область, ограниченная гладкой кривой , имеет в конечное число изолированных ОТ: и пусть непрерывна на и аналитична в . Тогда выполняется следующее равенство: .

Доказательство: Найдем столь малое, чтобы замкнутые круги попарно непересекались и все лежали в . И рассмотрим область .

Тогда , где . Функция аналитична в и непрерывна вплоть до границы.

По теореме Коши имеем следующее: , где последние интегралов берутся в отрицательном направлении (см. рисунок). Тогда , по определению вычета:. Подставляя в предыдущее выражение вместо интегралов вычеты, домноженные на постоянный множитель получается то, что и требовалось. Теорема доказана.

Замечание: В случае, когда и теорема остается справедливой.

Яндекс.Метрика