41. Поведение функции в окрестности существенно особой точки

Утв: Пусть - изолированная ОТ для . Если ограничена в окрестности , то - устранимая ОТ.

Доказательство: , где , . Оценим интеграл: , где По условию ограниченности. Для в силу произвольности , получаем, что . Утверждение доказано.

Следствие: устранимая ОТ для .

Доказательство: - смотри параграф 41. следует из утверждения. Следствие доказано.

Утв: Пусть - изолированная ОТ для . Если , то - полюс.

Доказательство: , где . Рассмотрим в . Так как в , то аналитична в ней. И является для нее изолированной ОТ. , значит для является устранимой ОТ. Доопределим: . Получаем - аналитическая в и - нуль функции . Так как в , то - нуль конечного порядка . Следовательно , где в И , где в , где . Это означает, что - устранимая ОТ для и полюс порядка для . Утверждение доказано.

Выводы:

1) - устранимая ОТ

2) - полюс

3) - существенно ОТ

Эти три ситуации взаимоисключающие.

Пример существенно особой точки: Разложение в ряд Лорана в окрестности нуля: . Различные пределы: , .

Яндекс.Метрика