42. Теорема Сохоцкого - Вейерштрасса

Опр: Плотно в , если .

Теорема: Пусть - существенно особая точка для , тогда для любой достаточно малой окрестности множество является плотным в .

Доказательство: Требуется доказать, что для .

1) Пусть . Допустим, что не является предельной точкой для , тогда существует окрестность бесконечности, непересекающаяся с , т. е. , что означает ограниченность в и по утверждению из параграфа 42 следует, что устранимая ОТ. Противоречие с условием.

2) Пусть и не является предельной для определена и аналитична в и для нее - изолированная ОТ. Если , то - противоречие, - С. О.Т. для . В силу пункта (1) теоремы, для множества значений функции точка будет предельной, т. е. - предельная точка для .

Из пунктов (1) и (2) заключаем, что является предельной для . Теорема доказана.

Яндекс.Метрика