23. Теорема Коши

Теорема Коши: Пусть - односвязная область и - аналитичная функция. Тогда для любого кусочно-гладкого замкнутого пути в (начало и конец совпадают): .

Доказательство: Т. к. аналитична, то она имеет локально первообразную и обладает свойством треугольника. Т. к. - односвязна, то существует «глобальная» первообразная. По формуле Ньютона-Лейбница: . Теорема доказана.

Лемма о стандартном радиусе: Пусть - жорданова гладкая кривая, тогда такое, что для любого круга : - есть жорданова дуга, т. е. окружность-граница круга пересекает ровно в двух точках. не зависит от выбора и называется Стандартным радиусом .

Обобщенная теорема Коши: - жорданова односвязная область с гладкой (кусочно-гладкой) границей . Если - аналитическая в и непрерывная вплоть до границы (*), то .

(*) означает, что и отсюда следует, что непрерывна.

Доказательство: Пусть - гладкая и - ее стандартный радиус. Тогда существует конечный набор кругов , где таких, что и .

 

 

непрерывна в (компакт в ) равномерно непрерывна в . Зададим : . В построении потребуем, чтоб . Интегралы по будут вычисляться в двух направлениях и сократятся.

(1). Интеграл по равен нулю по теореме Коши. (2) по теореме Коши (константа аналитична на всей ). - получается вычитанием (1)-(2). . Оценим: . - длина . Последняя оценка получается так: В этой оценке первая сумма оценивает длину , вторая – длину . Суммы оцениваются следующим образом: . Таким образом получаем: , откуда следует, что этот интеграл равен нулю. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >