29.01. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля

 

Пусть—область в пространстве или на плоскости. Говорят, что в области

Задано скалярноеполе, если каждой точкеИзПоставлено в соответствие некоторое числоЕсли введены декартовы координаты, то скалярное поле можно представить в виде функции координат точки

В этом случае понятие скалярного поля совпадает с понятием функции трех или двух переменных.

Поверхностью уровня скалярного поляНазывается геометрическое место точек, в которых поле имеет данное фиксированное значение

Уравнение поверхности уровня имеет вид

(29.1)

Поверхности уровня называют еще эквипоненциапьными поверхностями (поверхностями одинакового потенциала) или изоповерхностями.

Если поле задано в плоской области, то равенство

(29.2)

Определяет некоторую линию. Эти линии называют линиями уровня или изолиниями.

Скалярные поля иногда обладают специальными свойствами симметрии. Если значенияЗависят лишь от расстояния точкиОт некоторой фиксирован

Ной точки, то поле называют сферическим. Поверхности уровня сферического поля - концентрические сферы.

Если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле Переходит само в себя, т. е. существует такая декартова система координат, в которой поле можно задать функцией двух переменныхТо это поле называют плоскопараллельным или двумерным. Поверхности уровня таких полей цилиндрические.

Если полеПереходит само в себя при повороте пространства на произ

Вольный угол вокруг некоторой оси, иначе, если существует цилиндрическая система координат, в которой поле может быть задано функцией, зависящей лишь от

ИТо такое поле называют осесимметрическим.

Поверхности уровня этого поля — поверхности вращения. Если поверхностями уровня являются круговые цилиндры, тоНазывают цилиндрическим.

Пример 29.1. Найти поверхность уровня скалярного поля

Проходящую через точку Совокупность поверхностей уровня данного поля определяется уравнением

Среди этих поверхностей выберем ту, которая проходит через точкуДля чего нужно определить значениеПодставляя координаты точкиВ левую часть уравнения, находим

Или

С = -4. Следовательно, уравнение искомой поверхности имеет вид

ИлиВы

Деляя полные квадраты в левой части этого уравнения, получаем

ИлиГде

Итак, поверхностью уровня является гиперболический параболоид.

Пример 29.2. Найти линии уровня плоского скалярного поля, заданного функцией

В соответствии с формулой (29.2) линии уровня данного поля определяются уравнениемПриПолучаем равносторонние гиперболы с дейст

Вительной осьюПриИмеем сопряженные им гиперболы (с действитель

Ной осью), приПолучаем асимптоты всех указанных гипербол.

< Предыдущая		Следующая >