28.4. Основные дифференциальные уравнения математической физики

Волновое уравнение - уравнение вида

(28.16)

Где- оператор Лапласа,- функция точкиИз данной области

(одномерной, двумерной, трехмерной) и времениПервое называют неоднородным, второе — однородным. Волновыми уравнениями описываются различные колебательные процессы. Каждое волновое уравнение имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти решение, описывающее соответствующий физический процесс, необходимо задать дополнительные условия.

Одномерное волновое уравнение, или уравнение колебаний струны, имеет вид

Где- отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в

Момент времени- постоянная;- заданная функция. Первое из этих

Уравнений называется уравнением вынужденных колебаний, второе - уравнением свободных колебаний. Дополнительные условия состоят из начальных и краевых. Предположим, что струна имеет длинуЛевый конец ее закреплен в точке правый — в точкеЕсли за начальный момент времени принятьТо

Начальные условия запишутся так:Где

- известные функции, определенные на отрезке [0,/]. Так как концы струны закреплены, то. краевые условия имеют вид

Задача, содержащая. только начальные условия, называется задачей Коши; задача, содержащая начальные и краевые условия, - смешанной задачей.

Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Найти решениеЛинейного однородного уравнения

(28.17)

Удовлетворяющее начальным условиям

(28.18)

Где— заданные функции, определенные в бесконечном

Промежутке

Для решения задачи о свободных колебаниях бесконечной струны используют метод характеристик, или метод Д’Аламбера.

Уравнение (28.17) является уравнением гиперболического типа (в чем можно убедиться, положивИ сравнив его с уравнением (28.11)). Уравнение

Характеристик (28.13) принимает видИли

Оно распадается на два уравнения:Откуда

ПолучаемВведя новые переменныеФормулами

Уравнение (28.17) преобразуем к видуОткуда

(см. пример 28.2)Или

(28.19)

Где- произвольные дважды дифференцируемые функции. Если эти функ-

Эта формула, называемая формулой Д’Аламбера, дает решение задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны.

Уравнения теплопроводности - уравнения вида

(28.21)

Где- оператор Лапласа,- постоянная,- заданная функция точки

Af данной области (одномерной, двумерной, трехмерной). Первое уравнение называют однородным, второе - неоднородным.

Запишем соответственно трехмерное, двумерное и одномерное однородные уравнения вида (28.21):

Первое из этих уравнений описывает распространение тепла в пространстве, второе — в пластинке, третье - в стержне.

Уравнением вида (28.21) описываются различные процессы: диффузия, движение вязкой жидкости и др.

Начальное условие для уравнения теплопроводности в пространстве определяется равенством

(28.22)

Оно задает температуру каждой точки тела в начальный момент времени — известная функция).

Краевое условие имеет вид

(28.23)

Где- температура окружающей среды на границе Г,— температура тела, - коэффициент теплообмена,- коэффициент теплопроводности,-производная функцииПо направлению внешней нормали к

Поверхности

Краевое условие (28.23) принимает видПри(на границе

Тела нет теплообмена с окружающей средой) илиПри

(на границе поддерживается постоянная температура).

Где- оператор Лапласа. Уравнению (28.24) удовлетворяет стационарное (не зависящее от времени) распределение температуры в теле, потенциал стационарного электрического поля в области, где отсутствуют заряды. К уравнению Лапласа приводят и другие задачи. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.

Краевая задача для уравнения Лапласа. Найти функцию , гармоническую внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью Г, и удовлетворяющую граничному условию