29.2.1. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования. Оптимальная стратегия замены оборудования

Одной из важных экономических проблем является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков, агре­гатов, машин на новые.

Старение оборудования включает его физический и мораль­ный износ, в результате чего растут производственные затра­ты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличива­ются затраты на его ремонт и обслуживание, снижаются про­изводительность и ликвидная стоимость.

Наступает время, когда старое оборудование выгоднее про­дать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших за­трат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием опти­мальности при этом может служить прибыль от эксплуата­ции оборудования, которую следует оптимизировать, или сум­марные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Введем обозначения: R(T) — стоимость продукции, произ­водимой за один год на единице оборудования возраста T лет;

U(T) — ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста T лет;

S(T) — остаточная стоимость оборудования возраста T лет;

Р — покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через FN(T) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста T лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стра­тегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении тече­ния процесса. Так, T = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеру­ются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Так, N = 1 относится к одной временной стадии, остающей­ся до завершения процесса, а N = N — к началу процесса (рис. 29.1).

На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть при­нято решение о сохранении или замене оборудования. Выбран­ный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оп­тимальности, имеют вид:

Уравнение (29.1) описывает N-стадийный процесс, а (29.2) — одностадийный. Оба уравнения состоят из двух час­тей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохра­нении оборудования; нижняя — доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом обору­довании.

В уравнении (29.1) функция R(T) — U(T) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N-Й стадии процесса.

Функция FN-1 (T + 1) характеризует суммарную прибыль от (N — 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которо­го в начале осуществления этих стадий составляет (T + 1) лет.

Нижняя строка (29.1) характеризуется следующим обра­зом: функция S(T) — Р представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого T лет.

Функция R(0) выражает доход, получаемый от нового обо­рудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от ра­боты на оборудовании возраста T лет к работе на новом обо­рудовании совершается мгновенно, т. е. период замены старо­го оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция FN-1 в (29.1) представляет собой доход от оставшихся N — 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Аналогичная интерпретация может быть дана уравне­нию для одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида F0(T + 1), так как N принимает значение 1, 2,..., N. Равенство F0(T) = 0 следует из определения функции FN(T).

Уравнения (29.1) и (29.2) являются рекуррентными соот­ношениями, которые позволяют определить величину FN(T) в зависимости от FN-1(T + 1). Структура этих уравнений показы­вает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с T до (T + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N — 1).

Расчет начинают с использования уравнения (29.1). Урав­нения (29.1) и (29.2) позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, ко­торый предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при реше­нии вопроса о сохранении или замене оборудования, но и опре­делить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

Пример 1. Определить оптимальный цикл замены оборудо­вания при следующих исходных данных: Р = 10, S(T) = 0, F(T) = R(T) — U(T), представленных в табл. 29.1.

Решение. Уравнения (29.1) и (29.2) запишем в следующем виде:

Для N = 1

Для N = 2

Вычисления продолжаем до тех пор, пока не будет выпол­нено условие F1(1) > F2(2), т. е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае ис­пользования старого. Результаты расчетов помещаем в табли­цу, момент замены отмечаем звездочкой, после чего дальней­шие вычисления по строчке прекращаем (табл. 29.2).

Можно не решать каждый раз уравнение (29.3), а вычис­ления проводить в таблице. Например, вычислим F4(t):

Дальнейшие расчеты для F4(T) прекращаем, так как F4(4) = 23 < F3(1) = 24.

По результатам вычислений и по линии, разграничиваю­щей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.

Ответ. Для получения максимальной прибыли от ис­пользования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оп­тимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.

< Предыдущая		Следующая >