22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

При ограничениях:

Двойственная задача имеет вид

При ограничениях:

ТЕОРЕМА 3. Значения переменных уi в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влия­ния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т. е.

Примем Li ≈ ΔLi, Bi ≈ Δbi, тогда ΔLi ≈ Yi • Δbi.

Для задачи оптимального использования сырья это уравне­ние показывает, что при изменении I-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит Уi — i-я компонента оптимального ре­шения двойственной задачи.

Если Yi мало, то значительному увеличению I-го ресур­са будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если Yi = 0, то при увеличении I-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают по­требности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.

Если Уi велико, то незначительному увеличению I-го ресур­са будет соответствовать существенное увеличение оптималь­ного дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

Переменную Уi считают некоторой характеристикой цен­ности I-го ресурса. В частности, при увеличении I-го ресурса на единицу (Δbi = 1) оптимальный доход возрастает на Yi, что позволяет рассматривать Yi как "условную цену", оценку единицы I-го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как УI представляет частную производную от опти­мального дохода по I-му ресурсу, то Уi характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении I-го ресурса.

С помощью Yi можно определить степень влияния огра­ничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для кото­рых Yi остаются неизменными, определяются по формулам:

Где Xj — значение переменной в оптимальном решении; Dij — Элементы матрицы (dij) = А-1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (Aij)MXN.

Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле

Если ΔJ < 0, то новый вид продукции улучшает план. При ΔJ > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.

< Предыдущая		Следующая >