05.2.1. Формула Маклорена. Разложение функций по формуле Маклорена

Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функ­ции, дифференцируемые достаточное число раз в точке Х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степе­ни. Многочлены же являются наиболее простыми элементар­ными функциями, над которыми удобно выполнять арифмети­ческие действия, вычислять значения в любой точке и т. д.

* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).

Итак, функцию F(X), имеющую (N + 1) производных в точке Х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию F(X) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить F(X) в виде многочлена, коэффициенты ко­торого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений раз­личных функций; при этом погрешность вычислений оценива­ется по остаточному члену О(Xn).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

Пример 1. F(X) = Еx.

Решение. Поскольку (Ex)(N) = Eх, F(n)(0) = Е0 = 1 для любого П, формула Маклорена (5.2) имеет вид

Формула (5.3) используется для вычисления числа Е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при Х = 1 получаем при­ближенное значение числа Е ≈ 2,7182818 ....

Пример 2. F(X) = sin X.

Решение. Нетрудно проверить, что F(N)(X) = Sin ; отсюда имеем

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

Пример 3. F(X) = cos X.

Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

Пример 4. F(X) = ln (l + Х).

Решение. Так как , то F(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +X) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

Пример 5. F(X) = (1 + X)α, где α — вещественное число.

Решение. Производная N-го порядка имеет вид F(N)(X) = α (α - 1)( α - 2)... (α - N +1)(1 + X) α-N, т. е. F(N)(0) = α (α — 1)... (α - П + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем F(N + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу Бинома Нью­тона:

Т. е. бином Ньютона является частным случаем формулы Мак­лорена.

< Предыдущая		Следующая >