9.3.1. Пример выполнения задачи 1

Задача 1.1. Планируется деятельность двух предприятий в течение 4 лет. Начальные средства составляют S0 = 700. Средства Х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход F1(X)=0,7х и возвращаются в размере 1(х)=0,4х; аналогично, средства Х, вложенные в предприятие 2, дают доход F2(X)=0,8х и возвращаются в размере 2(х)=0,5х. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Решение. Уравнение состояний Sk = 1(Xk) + 2(Sk-1 – Xk) примет вид: Sk = 0.4Xk+0.5(Sk-1-Xk) или Sk = 0.5Sk-1-0.1Xk.

Целевая функция K-го шага: 0.7Xk+0.8(Sk-1-Xk)=-0.1Xk+0.8Sk-1.

Целевая функция задачи:

Функциональные уравнения (уравнения Беллмана):

Далее проводим условную оптимизацию.

4-й шаг. Используем уравнение (*). Обозначим через Z4 функцию, стоящую в скобках, Z4 = -0.1X4+0.8S3; функция Z4 – линейная убывающая, так как угловой коэффициент -0,1 меньше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0, S3] (см. рисунок).

Следовательно, Z4* = 0.8S3 при X4* =0.

3-й шаг. Уравнение

Находим S3 из уравнений состояний: S3 = 0.5S2-0.1X3 и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получаем:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается при  X3 = 0; т. е. Z3*=1.2S2 при X3*=0.

2-й шаг. Из уравнения состояний: S2 = 0.5S1-0.1X2, поэтому первое функциональное уравнение при K=2 примет вид:

Линейная относительно X2 Функция Z2* = 1.4S1-0.22X2 убывает на отрезке [0, S1], и поэтому ее максимум достигается при Х2 = 0.

При этом: Z2* = 1.4S1, при X2* = 0.

1-й шаг. S1 = 0.5 S0-0.1X1. Первое функциональное уравнение при K=1 имеет вид:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т. е.: Z1*=1.5S0 при X1*=0.

На этом условная оптимизация заканчивается. Используя ее результат и исходные данные, получаем:

Zmax = Z1*(700), Zmax =1050.

Далее:

X1* = 0, Y1* = s0 = 700

(все средства выделяются второй отрасли) 

 S1* = 0.5700-0.10 = 350  X2* = 0, Y2* = S1 = 350

(все средства выделяются второй отрасли) 

 S2* = 0.5350-0.10 = 175  X3* =0 , Y3* = 175 

(все средства выделяются второй отрасли) 

 S3* = 0.56400-0.10 = 87,5  X4* = 0, Y4* = 87,5

(все средства выделяются второй отрасли).

Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 700 ед., равна 1050 ед. при  условии, что первая отрасль получает по годам (0; 0; 0; 0), а вторая отрасль соответственно (700; 350; 175; 87,5).

Задача 1.2. Распределите оптимальным образом денежные средства величиной 5 млн. р. между 4 предприятиями. В результате выделения средств K-му предприятию в размере U оно дает доход Jk(U).

Таблица 52

U (млн. р.)	0	1	2	3	4	5
J1(u)	0	1.5	2	3.5	5.5	9
J2(u)	0	3	4.5	5.5	6.5	7.5
J3(u)	0	4	5	5.5	6	9
J4(u)	0	2	3	4	6.5	8

Решение. Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах Ui = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. р.

1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: K = 4. Предположим, что все средства в количестве U3 = 5 млн. р. отданы четвертому предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 53, составит J4(U4)=8 тыс. р., следовательно, F4(C4)=J4(U4).

Таблица 53

С4 U4	0	1	2	3	4	5
0	0	-	-	-	-	-
1	-	2	-	-	-	-
2	-	-	3	-	-	-
3	-	-	-	4	-	-
4	-	-	-	-	6,5	-
5	-	-	-	-	-	8
F4(c4)	0	2	3	4	6.5	8
U*4	0	1	2	3	4	5

2-й шаг: K = 3. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между четвертым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид

На основе которого составлена табл.54.

Таблица 54

C3 U3	0	1	2	3	4	5
0	0	2	3	4	6,5	8
1	-	4	6	7	8	10,5
2	-	-	5	7	8	9
3	-	-	-	5,5	7,5	8,5
4	-	-	-	-	6	8
5	-	-	-	-	-	9
F3(c3)	0	4	6	7	8	10,5
U*3	0	1	1	1, 2	1, 2	1

3-й шаг: K = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

На основе которого составлена табл. 55.

Таблица 55

C2 U2	0	1	2	3	4	5
0	0	4	6	7	8	10.5
1	-	3	7	9	10	11
2	-	-	4.5	8.5	10.5	12.5
3	-	-	-	5.5	9.5	11.5
4	-	-	-	-	6.5	10.5
5	-	-	-	-	-	7.5
F2(C2)	0	4	7	9	10.5	12.5
U*2	0	0	1	1	2	2

4-й шаг: K = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и тремя  другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

На основе которого составлена табл. 56.

Таблица 56

C1 U1	0	1	2	3	4	5
0	0	4	7	9	10.5	12.5
1	-	1.5	5.5	8.5	10.5	12
2	-	-	2	6	9	11
3	-	-	-	3.5	7.5	10.5
4	-	-	-	-	5.5	9.5
5	-	-	-	-	-	9
F1(c1)	0	4	7	9	10.5	12.5
U*1	0	0	0	0	0, 1	0

2 этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг. По данным табл. 56 максимальный доход при распределении 5 млн. р. между четырьмя предприятиями составляет: С1 = 5, F1(5) = 12,5. При этом первому предприятию нужно выделить U1* = 0 млн. р.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий.

С2 = с1 – U1* = 5 – 0 = 5 млн. р.

По данным табл. 55 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 5 млн. руб. между третьим и четвертым предприятиями составляет: F2(5)=12,5 при выделении второму предприятию U2* = 2 млн. р.

3-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятий:

С3 = с2 – U2* = 5 – 2 = 3 млн. р.

По данным табл. 55 находим:

F3(3)  = 7 и U3* = 2 млн. р., либо возможен второй вариант F3(3)  = 7 и U3* = 1 млн. р.

4-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю четвертого и пятого предприятий. Рассмотрим последовательно два возможных варианта.

Вариант 1: С4 = с3 – U3* = 3 – 2 = 1 млн. р., F4(1)  = 2 и U4* = 1 млн. р.

Вариант 2: С4 = с3 – U3* = 3 – 1 = 2 млн. р., F4(2)  = 3 и U4* = 2 млн. р.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

, либо , который обеспечит максимальный доход, равный

F1(5) = J1(0) + J2(2) + J3(2) + J4(1) = 0+4.5+5+2=11.5  млн. р.,

F2(5) = J1(0) + J2(2) + J3(1) + J4(2) = 0+4.5+4+3=11.5  млн. р.

< Предыдущая		Следующая >