9.3.1. Пример выполнения задачи 1

Задача 1.1. Планируется деятельность двух предприятий в течение 4 лет. Начальные средства составляют S0 = 700. Средства Х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход F1(X)=0,7х и возвращаются в размере 1(х)=0,4х; аналогично, средства Х, вложенные в предприятие 2, дают доход F2(X)=0,8х и возвращаются в размере 2(х)=0,5х. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Решение. Уравнение состояний Sk = 1(Xk) + 2(Sk-1Xk) примет вид: Sk = 0.4Xk+0.5(Sk-1-Xk) или Sk = 0.5Sk-1-0.1Xk.

Целевая функция K-го шага: 0.7Xk+0.8(Sk-1-Xk)=-0.1Xk+0.8Sk-1.

Целевая функция задачи:

Функциональные уравнения (уравнения Беллмана):

Далее проводим условную оптимизацию.

4-й шаг. Используем уравнение (*). Обозначим через Z4 функцию, стоящую в скобках, Z4 = -0.1X4+0.8S3; функция Z4 – линейная убывающая, так как угловой коэффициент -0,1 меньше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0, S3] (см. рисунок).

Следовательно, Z4* = 0.8S3 при X4* =0.

3-й шаг. Уравнение

Находим S3 из уравнений состояний: S3 = 0.5S2-0.1X3 и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получаем:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается при  X3 = 0; т. е. Z3*=1.2S2 при X3*=0.

2-й шаг. Из уравнения состояний: S2 = 0.5S1-0.1X2, поэтому первое функциональное уравнение при K=2 примет вид:

Линейная относительно X2 Функция Z2* = 1.4S1-0.22X2 убывает на отрезке [0, S1], и поэтому ее максимум достигается при Х2 = 0.

При этом: Z2* = 1.4S1, при X2* = 0.

1-й шаг. S1 = 0.5 S0-0.1X1. Первое функциональное уравнение при K=1 имеет вид:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т. е.: Z1*=1.5S0 при X1*=0.

На этом условная оптимизация заканчивается. Используя ее результат и исходные данные, получаем:

Zmax = Z1*(700), Zmax =1050.

Далее:

X1* = 0, Y1* = s0 = 700

(все средства выделяются второй отрасли) 

S1* = 0.5700-0.10 = 350 X2* = 0, Y2* = S1 = 350

(все средства выделяются второй отрасли) 

S2* = 0.5350-0.10 = 175 X3* =0 , Y3* = 175

(все средства выделяются второй отрасли) 

S3* = 0.56400-0.10 = 87,5 X4* = 0, Y4* = 87,5

(все средства выделяются второй отрасли).

Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 700 ед., равна 1050 ед. при  условии, что первая отрасль получает по годам (0; 0; 0; 0), а вторая отрасль соответственно (700; 350; 175; 87,5).

Задача 1.2. Распределите оптимальным образом денежные средства величиной 5 млн. р. между 4 предприятиями. В результате выделения средств K-му предприятию в размере U оно дает доход Jk(U).

Таблица 52

U

(млн. р.)

0

1

2

3

4

5

J1(u)

0

1.5

2

3.5

5.5

9

J2(u)

0

3

4.5

5.5

6.5

7.5

J3(u)

0

4

5

5.5

6

9

J4(u)

0

2

3

4

6.5

8

Решение. Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах Ui = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. р.

1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: K = 4. Предположим, что все средства в количестве U3 = 5 млн. р. отданы четвертому предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 53, составит J4(U4)=8 тыс. р., следовательно, F4(C4)=J4(U4).

Таблица 53

С4

U4

0

1

2

3

4

5

0

0

-

-

-

-

-

1

-

2

-

-

-

-

2

-

-

3

-

-

-

3

-

-

-

4

-

-

4

-

-

-

-

6,5

-

5

-

-

-

-

-

8

F4(c4)

0

2

3

4

6.5

8

U*4

0

1

2

3

4

5

2-й шаг: K = 3. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между четвертым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид

На основе которого составлена табл.54.

Таблица 54

C3

U3

0

1

2

3

4

5

0

0

2

3

4

6,5

8

1

-

4

6

7

8

10,5

2

-

-

5

7

8

9

3

-

-

-

5,5

7,5

8,5

4

-

-

-

-

6

8

5

-

-

-

-

-

9

F3(c3)

0

4

6

7

8

10,5

U*3

0

1

1

1, 2

1, 2

1

3-й шаг: K = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

На основе которого составлена табл. 55.

Таблица 55

C2

U2

0

1

2

3

4

5

0

0

4

6

7

8

10.5

1

-

3

7

9

10

11

2

-

-

4.5

8.5

10.5

12.5

3

-

-

-

5.5

9.5

11.5

4

-

-

-

-

6.5

10.5

5

-

-

-

-

-

7.5

F2(C2)

0

4

7

9

10.5

12.5

U*2

0

0

1

1

2

2

4-й шаг: K = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и тремя  другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

На основе которого составлена табл. 56.

Таблица 56

C1

U1

0

1

2

3

4

5

0

0

4

7

9

10.5

12.5

1

-

1.5

5.5

8.5

10.5

12

2

-

-

2

6

9

11

3

-

-

-

3.5

7.5

10.5

4

-

-

-

-

5.5

9.5

5

-

-

-

-

-

9

F1(c1)

0

4

7

9

10.5

12.5

U*1

0

0

0

0

0, 1

0

2 этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг. По данным табл. 56 максимальный доход при распределении 5 млн. р. между четырьмя предприятиями составляет: С1 = 5, F1(5) = 12,5. При этом первому предприятию нужно выделить U1* = 0 млн. р.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий.

С2 = с1 – U1* = 5 – 0 = 5 млн. р.

По данным табл. 55 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 5 млн. руб. между третьим и четвертым предприятиями составляет: F2(5)=12,5 при выделении второму предприятию U2* = 2 млн. р.

3-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятий:

С3 = с2 – U2* = 5 – 2 = 3 млн. р.

По данным табл. 55 находим:

F3(3)  = 7 и U3* = 2 млн. р., либо возможен второй вариант F3(3)  = 7 и U3* = 1 млн. р.

4-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю четвертого и пятого предприятий. Рассмотрим последовательно два возможных варианта.

Вариант 1: С4 = с3 – U3* = 3 – 2 = 1 млн. р., F4(1)  = 2 и U4* = 1 млн. р.

Вариант 2: С4 = с3 – U3* = 3 – 1 = 2 млн. р., F4(2)  = 3 и U4* = 2 млн. р.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

, либо , который обеспечит максимальный доход, равный

F1(5) = J1(0) + J2(2) + J3(2) + J4(1) = 0+4.5+5+2=11.5  млн. р.,

F2(5) = J1(0) + J2(2) + J3(1) + J4(2) = 0+4.5+4+3=11.5  млн. р.

Яндекс.Метрика