4.1. Метод сканирования

 Метод заключается в последовательном переборе всех значений С шагом (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности F в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычислений значений F и находится решение задачи Х*.

Достоинство метода в том, что можно найти глобальный максимум критерия, если F(X) – многоэкстремальная функция. К недостаткам данного метода относится значительное число повторных вычислений F(X), что в случае сложной функции F(X) требует существенных затрат времени.

На практике можно реализовать одну из основных модификаций метода – последовательное уточнение решения, или сканирование с переменным шагом (рис. 16). Рассмотрим иллюстрацию модифицированного метода сканирования: 1 – интервал, включающий в себя искомый максимум функции после первого этапа сканирования (исходный участок разбит на 5 участков); 2 – то же после второго этапа.

На первом этапе сканирова­ние осуществляют с крупным шагом, затем отрезок, внутри которого получено наибольшее значение F(х), Разбивается на более мелкие отрезки, ищется новый отрезок, внутри которого уточненное значение максимума. Он (новый отрезок) опять

Делится на более мелкие и т. д., тех пор, пока величина отрезка, содержащего максимальное значение F(X), не будет меньше заданной погрешности. Главный недостаток этого варианта метода – возможность пропуска «острого» глобального максимума F(X).

Пример 11. Найти минимальное значение F* и точку минимума Х* функции F(X)=X4+8X3-6X2-72х на отрезке [1.5; 2]. Точку Х* найти с погрешностью =0,05.

Решение. Будем разбивать первоначальный и новый, удовлетворяющий нас, интервал на 4 части, при этом новый шаг рассчитываем по формуле:

Где N – количество частей деления интервала,

Ai, Bi – концы интервала, в котором содержится максимальное значение функции, погрешность , где  I - номер итерации.

Таблица 3

Номер

П.

Шаг

Концы

Новых

Интервалов

Значение функции

Погрешность

Примечание

1

2

3

4

5

6

1.

0,1250

1,5000

-89,4375

0,2500

Точность не достигнута

1,6250

-91,5427

1,7500

-92,1211

1,8750

-90,9998

2,0000

-88,0000

2.

0,0625

1,6250

-91,5427

0,1250

Точность не достигнута

1,6875

-92,0334

1,7500

-92,1211

1,8125

-91,7839

1,8750

-90,9998

3.

0,0313

1,6875

-92,0334

0,0625

Точность не достигнута

1,7188

-92,1290

1,7500

-92,1211

1,7813

-92,0070

1,8125

-91,7839

Продолжение табл. 3

1

2

3

4

5

6

4.

0,0156

1,6875

-92,0334

0,0313

Точность  достигнута

1,7031

-92,0940

1,7188

-92,1290

1,7344

-92,1381

1,7500

-92,1211

Итак,

Пример 12. НАйти точку минимума Х* функции

 на отрезке [0.5; 1] с точностью =0,05.

Решение. Будем разбивать первоначальный и новый, удовлетворяющий нас, интервал на 4 части.

Таблица 4

Номер п.

Шаг

Концы

Новых

Интервалов

Значение функции

Погрешность

Примечание

1.

0,1250

0,5000

-3,5907

0,1250

Точность не достигнута

0,6250

-3,1328

0,7500

-2,4389

0,8750

-1,5512

1,0000

-0,5000

2.

0,0313

0,5000

-3,5907

0,0313

Точность  достигнута

0,5313

-3,5014

0,5625

-3,3946

0,5938

-3,2715

0,6250

-3,1328

 Итак,

Пример 13. Дана функция F(X) = Sin (X+1). Найти максимум на интервале [-1; 2] С точностью =0,05.

Решение. Будем разбивать первоначальный и новый, удовлетворяющий нас, интервал на 4 части, при этом новый шаг рассчитываем по формуле:

Где N – количество частей деления интервала, Ai, Bi – концы интервала, в котором содержится максимальное значение функции, погрешность , где  I - номер итерации.

Таблица 5

П.

Шаг

Концы новых интервалов

Значение функции

Погрешность

Примечание

1

2

3

4

5

6

1

0,75

-1,0000

0

1,5000

Точность не достигнута

-0,2500

0,6816

0,5000

0,9975

Продолжение табл. 5

1

2

3

4

5

6

1,2500

0,7781

2,0000

0,1411

2

0,375

-0,2500

0,6816

0,75

Точность не достигнута

0,1250

0,9023

0,5000

0,9975

0,8750

0,9541

1,2500

0,7781

3

0,188

0,1250

0,9023

0,375

Точность не достигнута

0,3125

0,9668

0,5000

0,9975

0,6875

0,9932

0,8750

0,9541

4

0,094

0,3125

0,9668

0,1875

Точность не достигнута

0,4063

0,9865

0,5000

0,9975

0,5938

0,9997

0,6875

0,9932

5

0,047

0,5000

0,9975

0,0938

Точность не достигнута

0,5469

0,99971

0,5938

0,99973

0,6406

0,9976

0,6875

0,9932

6

0,023

0,5469

0,9997

0,0469

Точность достигнута

0,5703

1

0,5938

0,9997

0,6172

0,9989

0,6406

0,9976

 Итак,

Яндекс.Метрика