2.2.2. Элементарные преобразования матрицы

Вычисление ранга матрицы удобно производить, приведя матрицу к более простому виду с помощью преобразований, которые не меняют ее ранга.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются преобразования вида:

1. Перестановка двух строк.

2. Умножение строки на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к одной строке другой строки,

Умноженной на число.

Аналогично определяются Элементарные преобразования столбцов.

Теорема 5.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство.

Остановимся лишь на доказательстве этого утверждения для 3-го типа элементарных преобразований для строк. Пусть матрица В получена из матрицы A = ||Aij|| прибавлением к J-ой строке I-ой, умноженной на число L. Покажем, что rg B <Rg A. Пусть rg A = R. Рассмотрим произвольный минор матрицы В порядка N > R. Если этот минор не содержит J-ой строки, то он совпадает с соответствующим минором матрицы А и, следовательно, равен нулю. Если же он содержит J-ую строку, то он может быть представлен в виде:

Первый определитель равен нулю, так как он является минором матрицы А порядка N > R. Если I совпадает с одним из чисел I1, ..., In, то второй определитель равен нулю как определитель с двумя равными строками. В противном случае второй определитель есть снова минор матрицы А порядка N > R и поэтому тоже равен нулю.

Матрица А может быть получена из матрицы В прибавлением к J-ой строке I-ой, умноженной на –L, и в силу доказанного rg А < rg В. Тем самым доказано, что rg А = rg В.

Яндекс.Метрика