53. Ряды Фурье

( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим рядом Называется ряд вида:

Или, короче,

Действительные числа Ai, Bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т. к. функции sinNx и cosNx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна F(X).

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Т. к. функция F(X) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что .

Получаем:

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosNx и интегрируем в пределах от - p до p.

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinNx и интегрируем в пределах от - p до p.

Получаем:

Выражение для коэффициента А0 является частным случаем для выражения коэффициентов An.

Таким образом, если функция F(X) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

Существуют и называются Коэффициентами Фурье Для функции F(X).

Определение. Рядом Фурье Для функции F(X) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции F(X) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция F(X) разлагается в ряд Фурье.

Яндекс.Метрика