54. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция F(X) имеет период 2P и на отрезке

[-P;P] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-P;P] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция F(X) монотонна, то ряд Фурье для функции F(X) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции F(X) его сумма равна F(X), а в точках разрыва его сумма равна , т. е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции F(X) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции F(X).

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется Кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].

Теорема. Если функция F(X) имеет период 2P, кроме того, F(X) и ее производная F’(X) – непрерывные функции на отрезке [-P;P] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции F(X) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна F(X), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции F(X) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции F(X).

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется Кусочно – гладкой На отрезке [-p;p].

Яндекс.Метрика