8.6. Частые производные и полный дифференциал функций многих переменных

Пусть – некоторая функция двух переменных. Если зафиксировать одну из переменных (например, У), то функция Станет функцией лишь одной переменной Х. Если теперь найти производную функции Z по этой оставшейся переменной Х, то эта производная, имеющая несколько разных по форме обозначений

,

(2.1)

Называется Частной производной функции Z по переменной х. Аналогично определяется, при фиксированном Х И переменном У, Частная производная функции Z = F(X; Y) по переменной Y:

(2.2)

Пример 1. Пусть . Тогда

Пользуясь определением производной функции одной переменной (см. главу 4, формулу (1.6)), можем записать и математические определения частных производных функции Z = F(X; Y):

(2.3)

Если – функция трех переменных, то от нее можно вычислить уже три частные производные – по каждой переменной:

(2.4)

Пример 2. Если то

Совершенно аналогично определяются частные производные функций любого числа переменных.

Все это – так называемые частные производные Первого порядка. А если от них снова вычислить (взять) частные производные, то получим уже частные производные второго, третьего и т. д. порядков. Например, если – функция двух переменных, то

(2.5)

– частная производная второго порядка от Z По Х;

(2.6)

– частная производная второго порядка от Z По Y;

и

(2.7)

– смешанные частные производные второго порядка от Z по Х и У. Кстати, доказано, что если обе существуют, то они и равны:

(2.8)

То есть результат вычисления смешанных производных не зависит от порядка дифференцирования (если это дифференцирование возможно и в том, и в другом порядка).

Пример 3. Пусть . Тогда

Примечание. В обозначениях (2.1) – (2.7) для частных производных значок – с кривым хвостом! В этом его отличие от прямого значка D, применяемого в обозначения (1.4), (2.10), (2.11) для обычных производных функций одной переменной.

< Предыдущая		Следующая >