15. Вариационные задачи с подвижными границами.

Предположим, что одна или более граничных точек может перемещаться.

Если на какой-нибудь кривой достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой . Таким образом, должна удовлетворять уравнению Эйлера. . Решение этого уравнения содержит произвольные постоянные, которые определялись из граничных условий в задачах с неподвижными границами. В случае подвижных границ они определяются из равенства нулю функционала.

Пусть закреплены, тогда найдём вариацию функционала . Допустимые кривые будем считать близкими, если модули вариаций и малы и малы модули приращений .

Второе слагаемое по формуле Тейлора.

Так как закреплена, то нижняя подстановка обращается в ноль. !

Если приращения независимы, то отсюда следует. Что

и

Но чаще приходится рассматривать случай, когда вариации и зависимы .

условие транверсальности.

Пример найти условие трансверсальности для функционалов вида

Или

Т. е условие ортогональности.

,

Интегральными кривыми являются окружности . Первое граничное условие даёт . Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится, условию ортогональности т. е.

Если граничная точка может перемещаться лишь по вертикальной прямой, то и

Вариационные задачи на условный экстремум.

Найти экстремум функционала при условии ,

. Здесь также можно доказать справедливость метода неопределённых множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа для неё записываем уравнение Эйлера.

Неизвестные находим из условий связи.

Пример. Найти кривую , заданной длины , для которой площадь Под ней достигает максимума.

,

При изопериметрическом условии

не зависит от , поэтому уравнение Эйлера имеет первый интеграл

вводя параметр , полагая , тогда получим

, откуда

, ,

Получим семейство окружностей

Константы определяются из условия , .

Задача о максимальной площади между двумя кривыми.

Найти экстремаль , и интегральной связи

уравнение Эйлера =.

< Предыдущая		Следующая >