02. Действия сложения, вычитания, умножения и деления

Рис.2.

 
Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, то есть как соответствующие действия над векторами (см. рис.3)

И, следовательно, выполняются по формулам:

; (1.7)

(1.8)

– чтобы сложить два комплексных числа (например), нужно сложить отдельно действительные и мнимые части, что и будет действительной и мнимой частями суммы чисел. Из формул (1.7) и (1.8) находим

. (1.9)

Под произведением комплексных чисел и (обозначается ) понимается комплексное число Z, равное

. (1.10)

Частное комплексных чисел и определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле

. (1.11)

Практические поступают иначе. Так как по формуле (1.10) то деление удобно выполнять по следующей формуле:

(1.11¢)

Так введенные операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. (коммутативность умножения);

4. (ассоциативность умножения);

5. (дистрибутивность умножения относительно

сложения).

Формула (1.10) “раскрывает смысл” мнимой единицы” . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой на –1.

Приведем решение “ типовых примеров” на введенные выше понятия.

Пример 1. Показать, что .

Решение. По определению суммы и ее свойств имеем: ; .

Пример 2. Найти действительные решения уравнения .

Решение. Запишем левую часть уравнения в алгебраической форме: . По определению равенства комплексных чисел получим систему уравнений , решением которой является пара чисел

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение. Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Имеем

и, следовательно, .

Пример 4. Для числа а) построить геометрическое изображение; б) найти модуль и главное значение аргумента; в) записать число в тригонометрической форме; г) записать число в показательной форме.

Рис.4.

 
Решение. Число представлено, очевидно, в алгебраической форме (не имеет вида (1.5)): . На рис.4 число представлено геометрически.

Найдем модуль комплексного числа Z. По формуле (1.2) . Так как точка Z расположена в третьем квадранте , то главное значение аргумента его следует вычислить по третьей строчке формулы (1.4):

. Таким образом, . Запишем Z в тригонометрической форме: и показательной форме: .

Яндекс.Метрика