1.4.2. Точки разрыва и их классификация

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, возможно, самой этой точки. Тогда х0 называется точкой разрыва функции f(x), если она либо не определена при х = х0, либо не является непрерывной в точке х0.

Термин «устранимая особенность» связан с тем, что, доопределив функцию в точке разрыва значением ее предела в этой точке, мы сделаем ее непрерывной при х = х0, то есть устраним разрыв в рассматриваемой точке.

Примеры.

Функция не определена при х = 1, а для остальных значений аргумента может быть представлена как у = х - 2. Следовательно,

То есть х = 1 – устранимая особенность.

Из определения модуля следует, что у = 1 при x > 0, y = -1 при x < 0, а при х = 0 функция не определена. При этом

Следовательно, х = 0 –точка разрыва 1-го рода.

Функция не определена при х = 0 , и

Поэтому х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

То есть правосторонний предел не является конечным. Значит, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

Функция не определена при х = 0 и не имеет предела при х→0. Следовательно, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.