Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Задачи по тфкп

PDF Печать E-mail

1.  В плоскости дано уравнение линии . На какую линию плоскости она отображается функцией ? Привести поясняющие чертежи.

Уравнение линии

Функция

Решение

Так как

То

Но , , то есть окружность радиуса 1 в плоскости z отобразится в окружность радиуса 1 в плоскости w:

2.  Выделив в данной функции действительную и мнимую части, выяснить, аналитическая ли она. Вычислить значение (выделить действительную и мнимую части) при данном значении аргумента .

Функция

Решение

Выделим действительную и мнимую части данной функции:

Тогда имеем

Проверяем условия Коши  — Римана:

Первое условие выполняется ,

Второе условие выполняется , следовательно, функция является аналитической.

Подставим в

Получим

3.  Вычислить данный интеграл по двум разным контурам и , используя для этого теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши.

Интегралы

Контур

Контур

Решение

Найдём особые точки функции :

Изобразим контур интегрирования и данные точки:

- окружность с центром в точке О(0;0), радиуса 1.

Внутри данного контура не лежит ни одна особая точка, следовательно, согласно теореме Коши:

Изобразим контур интегрирования и данные точки:

- окружность с центром в точке О(1;0), радиуса 1.

Внутри данного контура лежит одна особая точка - простой полюс, следовательно, согласно теореме Коши:

4.  Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и определить область существования полученного разложения.

Функция

Решение

Приведём данную функцию к виду:

То есть

Используем разложение , .

Преобразуем дроби к нужному виду

,

.

Значит при и при , т. е. при и при можно получить разложения полученных выражений в ряд:

Областью существования разложения является область в которой сходятся оба из рядов. То есть круг радиуса 1 с центром в точке z=2. Значит, в круге получим разложение в ряд Лорана функции

5.  При помощи теоремы о вычетах вычислить данный интеграл по контуру .

Интеграл

Контур

Решение

Знаменатель подынтегрального выражения обращается в ноль в точках и , которые находятся внутри контура , причем является кратным корнем уравнения .

Изобразим контур интегрирования L и данные точки:

Используя теорему о вычетах получим:

Тогда получим:

Ответ:

 
Яндекс.Метрика
Наверх