Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Контрольная работа по мат. анализу12

PDF Печать E-mail

Задания для контрольной работы № 3

141-150. Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

,

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Используем начальное условие , тогда .

Тогда, окончательно,

Ответ:

151-160. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

- интеграл «не берётся» - скорее всего опечатка в условии

161-170. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

Решение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и кратны (), общее решение исходного уравнения имеет вид .

171-180. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное ,

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

181-190. Для данного числового ряда: а) вычислить частичные суммы , , ; б) записать n-ю частичную сумму ; в) исследовать ряд на сходимость, пользуясь определением сходящегося ряда.

Решение

Найдём частичные суммы данного ряда , , .

Вычислим n-ю частичную сумму ряда .

Используя формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии, у которой первый член равен , а знаменатель , можно записать .

Найдём предел частичных сумм .

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна .

191-200. Найти интервал сходимости ряда.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится на интервале (0;6) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=6 получим ряд , данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

При х=0 получим ряд - данный ряд расходится, аналогично предыдущему. Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

Ответ:

201-210. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Решение

Заменим функцию ее степенным рядом, тогда

Получим

Почленно интегрируя, находим:

.

Так как , то для получения нужной точности достаточно взять первый член ряда: .

Ответ:

211-220. Для дифференциального уравнения с заданными начальными условиями записать приближенное решение в виде сумы первых четырёх отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение

Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:

(1)

Непосредственно из уравнения найдем: .

Дифференцируя последовательно обе части уравнения получим

И полагая X=0 в полученных равенствах, будем иметь:

Подставляя в ряд (1) найденные значения получим:

Ответ:

Задания для контрольной работы № 4

221-230. Найти область определения функции. Изобразить решение на координатной плоскости.

Решение

Функция определена при

Чтобы определить, какую часть плоскости заштриховать, необходимо взять координаты любой точки, не лежащей на границе, подставить в исходное неравенство. Если получено верное неравенство, то штрихуется та часть плос­кости, в которой находилась произвольная точка. Если при подстановке полу­чено неверное неравенство, то штрихуется та часть плоскости, которая лежит по другую сторону от границы.

Изобразим решение на координатной плоскости:

В данном случае область определения функции неограниченна.

231-240. Найти частные производные и функции двух переменных ,

Решение

Имеем

Пусть , тогда ,

Пусть , тогда

241-250. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в данной точке . ,

Решение

Представим уравнение поверхности в виде . Имеем

Найдём частные производные функции в точке

,

,

,

Подставим в уравнения касательной плоскости

И нормали

К поверхности. Получим:

- уравнение касательной плоскости.

- уравнение нормали к поверхности.

251-260. Исследовать функцию двух переменных на экстремум.

Решение

Находим частные производные данной функции:

Найдем стационарные точки. Получим

Найдем вторые частные производные исследуемой функции:

Проведем исследования сначала для точки

Значения вторых частных производных в этой точке равны

Составим определитель , поскольку , то в точке данная функция экстремума не имеет.

Проведем исследования для точки

Значения вторых частных производных в этой точке равны

Составим определитель , поскольку и А=2>0, то в точке данная функция имеет локальный минимум.

Ответ: в точке локальный минимум, .

261-270. Найти градиент функции в точке . ,

Решение

Градиент функции вычисляется по формуле .

В нашем случае ,

Тогда ,

Ответ:

271-280. При помощи двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограни­ченной данными линиями. Сделать чертеж.

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти

Найдём площадь фигуры, образованной данными кривыми, по формуле

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений

Имеем ,

Тогда

Ответ: (кв. ед.)

281-290. Найти объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж. (при )

Решение

Изобразим тело, объём которого необходимо найти

Проекция данного тела на плоскость хОу:

По формуле , где

Тогда Ответ: (куб. ед.)

 
Яндекс.Метрика
Наверх