Теория вероятности 06

(озо, финансово-экономический факультет,

Факультет управления)

Теория вероятностей

Два автобуса-экспресса выехали в аэропорт. Вероятность того, что первый автобус прибудет вовремя – 0.9, второй – 0.8. Какова вероятность, что только один автобус прибудет вовремя?

Решение:

Всего возможны два варианта: первый автобус прибудет вовремя или второй автобус прибудет вовремя. Тогда вероятность, что только один автобус прибудет вовремя равна:

P = p1q2 + q1p2 = 0,9*(1-0,8) + (1-0,9)*0,8 = 0,26

Ответ: 0,26

II.

На складе хранятся N изделий завода 1, M изделий – завода 2, K изделий завода 3. Вероятность получения бездефектного изделия на первом заводе – 0.9, на втором – 0.8, на третьем – 0.7.

А) Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.

Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе i?

Решение:

Всего изделий: 20 + 20 + 30 = 70

А) Найдем вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.

Вероятность того что, изделие с первого завода: P(H1) = 20/70 = 0,29

Вероятность того что, изделие со второго завода: P(H2) = 20/70 = 0,29

Вероятность того что, изделие с третьего завода: P(H3) = 30/70 = 0,42

P = P(H1)*p1 + P(H2)*p2 + P(H3)*p3 = 0,29*0,9 + 0,29*0,8 + 0,42*0,7 = 0,787

Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Найдем вероятность, что оно изготовлено на заводе №1?

III.

7-10. Два спортсмена выполняют по бросков мяча по воротам. Вероятность попадания первого – 0.6, второго – 0.7. Какова вероятность, что оба попадут в ворота: а) более двух раз;б) не более двух раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число парных попаданий.

10.

Решение:

Вероятность, что оба спортсмена попадут в ворота, равна p = 0,6*0,7 = 0,42

P = 0.42, q = 1- p = 1 - 0.42 = 0.58

Формула Бернулли:

А) более двух раз;

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит более k раз равна:

P(x > k) = Pn(k+1) + Pn(k+2) + ... + Pn(n)

P(x > 2) = 0.2492 + 0.09024 + 0.01307 = 0.3525

Б) не более двух раз;

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не более k раз равна: P(x ≤ k) = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k)

P(0) = 0.585 = 0.0656356768

P(x ≤ 2) = 0.0656356768 + 0.2376 + 0.3442 = 0.64746

С) хотя бы один раз;

Найдем вероятность того, что событие не наступит ни одного раза.

P0 = qn = 0.585 = 0.0656356768

Тогда вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз равна: P1 = 1 - P0 = 1 - 0.0656356768 = 0.93436

Д) найти наивероятнейшее число парных попаданий.

Np – q ≤ k0 ≤ np + p

Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:

5*0.42 – 0.58 ≤ k0 ≤ 5*0.42 + 0.42

Или

1.52 ≤ k0 ≤ 2.52

Поскольку число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 2

IV.

При обследовании уставных фондов банков установлено, что N-я часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 500 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: A) не менее M; B) от M до K включительно.

Решение:

Четвертая часть банков составляет p = ¼ = 0,25.

A) не менее 150;

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)

Где Ф(x) – функция Лапласа.

P500(150 < x < 500) = Ф(38.73) - Ф(2.58) = 0.49999 - (0.4953) = 0.00469

B) от 150 до 250 включительно.

K2 = 250, k1 = 150

P500(150 < x < 250) = Ф(12.91) - Ф(2.58) = 0.49999 - (0.4953) = 0.00469

В ящике содержится n деталей, среди которых k бракованных. Сборщик наудачу извлекает m деталей.

1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: A) m бракованных; B) одна бракованная; C) две бракованные; D) хотя бы одна бракованная.

2. Составить закон распределения случайной величины X– числа бракованных деталей среди извлеченных.

3. Найти M(X), D(X),.

4. Вычислить P(1<X<4)

Решение:

1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:

A) 4 бракованных;

B) одна бракованная;

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 детали из 11:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди 4 деталей ровно 1 деталь дефектная):

Остальные 3 детали можно выбрать из 7:

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: 5*20 = 100

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: P(1) = 100/330 = 0,303

C) две бракованные;

D) хотя бы одна бракованная.

Вероятность того, что нет дефектных деталей. X = 0.

Тогда вероятность того, что хотя бы одна бракованная составит:

P = 1 – P(0) = 1 – 0,0455 = 0,95

2. Составим закон распределения P(x), X - числа бракованных деталей среди извлеченных.

Найдем вероятность появления трех бракованных изделий.

2. Найдем M(X), D(X),.

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 0*0.0455 + 1*0.303 + 2*0.4545 + 3*0.182 + 4*0.015 = 1.818

Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.

Дисперсия D[X].

D[X] = 02*0.0455 + 12*0.303 + 22*0.4545 + 32*0.182 + 42*0.015 - 1.8182 = 0.694

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

3. Вычислим P(1<X<4). Для этого найдем функцию распределения F(X).

F(x≤0) = 0

F(0< x ≤1) = 0.0455

F(1< x ≤2) = 0.303 + 0.0455 = 0.349

F(2< x ≤3) = 0.455 + 0.349 = 0.803

F(3< x ≤4) = 0.182 + 0.803 = 0.985

F(x>4) = 1

Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:

P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале 1 ≤ X < 4

P(1 ≤ X < 4) = F(4) - F(1) = 0.985 - 0.0455 = 0.9395

VI.

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Изобразить графики функции распределения F(x) и плотности распределения F(x). Найти вероятность попадания случайной величины в интервал

Решение:

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):

F(x) = dF(x)/dx = 1/2x

Плотность распределения f(x):

Математическое ожидание.

Дисперсия.

График плотности распределения

График функции распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 1.5).

P(1 < x < 1,5) = F(1,5) – F(1) = 1.52/4 - 12/4 = 0.3125

VII.

Известны математическое ожидание A и среднее квадратичное отклонение Нормально распределенной случайной величины X. Найти: A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал ; B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше C) Вычислить M(3X-2), D(3X-2).

Решение:

A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β);

Где Ф(x) — функция Лапласа

0,4192 + 0,1554 = 0,5746

B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X - a| < δ, определяется так:

C) M(3X-2) = 3*M(X) – M(2) = 3*4-2 = 10

D(3X-2) = D(3X) – D(-2) = 32D(X) – 0 = 9*52 = 225

Математическая статистика

VIII.

1-10. Заданы среднее квадратичное отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки N. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания А с заданной надежностью γ = 0.95.

Решение:

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента находим:

Tтабл (n-1;α/2) = (16;0,05/2) = 2.13

(18,81 – 1,065;18,81 + 1,065) = (17,75;19,88)

С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

IX.

1-10. Найти: 1) выборочную дисперсию; 2) выборочное среднее квадратичное отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты XI, а во второй строке – соответствующие частоты NIколичественного признака X).

Решение:

Таблица для расчета показателей.

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43.3 в среднем на 6.41

1-10. Найти выборочное уравнение прямой

Регрессии X на Y по данной корреляционной таблице.

Решение:

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Выборочные средние:

Дисперсии:

102.24

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

σx = 4.74 и σy = 10.11

И ковариация:

Cov(x, y) = (2•10•2 + 7•10•5 + 7•20•5 + 12•20•2 + 12•30•3 + 17•30•50 + 22•30•2 + 12•40•1 + 17•40•10 + 22•40•6 + 17•50•4 + 22•50•7 + 27•50•3)/100 - 16.45 • 32.4 = 38.82

Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

И вычисляя, получаем:

Yx = 1.73 x + 3.95

< Предыдущая		Следующая >