Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Ряды с неотрицательными членами.

PDF Печать E-mail

Теорема 2.1. Пусть все члены ряда Ряды с неотрицательными членами. неотрицательны: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху и достаточно, чтобы была ограничена сверху хотя бы одна подпоследовательность последовательности его частичных сумм.

Пример 2.1. Доказать, что если ряд Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., сходится, то ряд Ряды с неотрицательными членами. также сходится.

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами.- последовательность частичных сумм первого ряда, а Ряды с неотрицательными членами.- второго ряда. Согласно теореме 2.1 (необходимость) из сходимости первого ряда следует, что последовательность Ряды с неотрицательными членами. ограничена сверху. Тогда ограничена сверху и последовательность Ряды с неотрицательными членами.: Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами.. Отсюда в силу условия Ряды с неотрицательными членами. следует, что Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами. для всех Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому ограничена сверху последовательность Ряды с неотрицательными членами.. Применив теорему 2.1 (достаточность), мы видим, что сходится ряд Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.2. Доказать, что ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится.

Решение. Данный ряд состоит из положительных членов: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. В силу очевидного неравенства.

Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.,

Последовательность Ряды с неотрицательными членами. частичных сумм ряда не ограничена сверху. Согласно теореме 2.1 это и означает расходимость данного ряда.

Пример 2.3. Если Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., то ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится или расходится одновременно с рядом Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.- частичные суммы данных рядов. Поскольку Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., то

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами..

Сложив эти неравенства почленно, получим

Ряды с неотрицательными членами., т. е.

Ряды с неотрицательными членами.. (2.1)

Если ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится, то по теореме 2.1 последовательность Ряды с неотрицательными членами. ограничена сверху. В силу неравенства (2.1) ограничена сверху подпоследовательность Ряды с неотрицательными членами. последовательности Ряды с неотрицательными членами. частичных сумм ряда Ряды с неотрицательными членами.. Согласно теореме 2.1 этот ряд сходится.

С другой стороны, справедливы неравенства

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.,

Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами.

Сложив эти неравенства почленно, получим Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.Т. е.

Ряды с неотрицательными членами. (2.2)

Если ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится, то (теорема 2.1) последовательность Ряды с неотрицательными членами. его частичных сумм не ограничена сверху. В силу неравенства (2.2) тогда не ограничена сверху и подпоследовательность Ряды с неотрицательными членами.. Отсюда следует расходимость ряда Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому не выполняется необходимое условие (1.5) сходимости ряда. Следовательно, при Ряды с неотрицательными членами. данный ряд расходится. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Тогда Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Согласно примеру 2.1 исследуемый ряд сходится или расходится одновременно с рядом Ряды с неотрицательными членами., т. е. с рядом

Ряды с неотрицательными членами., (2.3)

Где Ряды с неотрицательными членами.. Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и, как установлено в примере 1.5, ряд (2.3) сходится.

Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и ряд (2.3) расходится.

Итак, ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится при Ряды с неотрицательными членами. и расходится при Ряды с неотрицательными членами..

Ряд Ряды с неотрицательными членами. называется гармоническим. Поскольку для него Ряды с неотрицательными членами., то этот ряд расходится.

Мажорантный признак сравнения. Пусть существует номер Ряды с неотрицательными членами. такой, что для всех Ряды с неотрицательными членами. справедливы неравенства Ряды с неотрицательными членами.. Тогда 1) из сходимости ряда Ряды с неотрицательными членами. следует сходимость ряда Ряды с неотрицательными членами.; 2) из расходимости ряда Ряды с неотрицательными членами. следует расходимость ряда Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Поскольку для любого натурального числа Ряды с неотрицательными членами. справедливы неравенства Ряды с неотрицательными членами., а ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится (см. пример 1.5), то на основании мажорантного признака сравнения данный ряд сходится.

Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Заметим, что при Ряды с неотрицательными членами. справедливо неравенство Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Так как гармонический ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится (см. пример 2.4), то в силу теоремы 1.1 ряд Ряды с неотрицательными членами. также расходится. Значит, согласно мажорантному признаку расходится и исследуемый ряд.

Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Значит, при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами.. Ряд с общим членом Ряды с неотрицательными членами. сходится, как это было установлено в примере 2.4. Поэтому сходится и данный ряд.

Пример 2.8. Доказать, что сходится ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Сначала докажем, что при Ряды с неотрицательными членами. справедливо неравенство

Ряды с неотрицательными членами.. (2.4)

Для этого рассмотрим функцию Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Ее производная Ряды с неотрицательными членами.. Легко видеть, что при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами.- наибольшее значение функции Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., и неравенство (2.4) доказано. Их этого неравенства следует, что Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Снова использовав (2.4), получаем

Ряды с неотрицательными членами..

Значит, Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Таким образом, Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Ряд Ряды с неотрицательными членами., как уже отмечалось, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.

При исследовании рядов, общий член которых содержит логарифмическую функцию, бывает полезным

Утверждение 2.1. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Тогда существует такое натуральное число Ряды с неотрицательными членами., что при Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами.. (2.5)

Для доказательства этого утверждения, покажем, что

Ряды с неотрицательными членами.. (2.6)

Если Ряды с неотрицательными членами., то равенство (2.6) верно, поскольку Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., а Ряды с неотрицательными членами., т. к. Ряды с неотрицательными членами.. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Рассмотрим предел Ряды с неотрицательными членами.. Сделав в нем замену Ряды с неотрицательными членами., получим Ряды с неотрицательными членами.. Положим Ряды с неотрицательными членами.. Применим правило Лопиталя Ряды с неотрицательными членами. раз:

Ряды с неотрицательными членами.,

Т. к. Ряды с неотрицательными членами.. Итак, равенство (2.6) доказано. Согласно определению предела числовой последовательности, для Ряды с неотрицательными членами. найдется такой номер Ряды с неотрицательными членами., что при Ряды с неотрицательными членами. справедливо неравенство Ряды с неотрицательными членами., т. е. Ряды с неотрицательными членами.. Утверждение доказано.

Пример 2.9. Доказать, что ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится.

Решение. Применяя неравенство (2.5), взяв в нем Ряды с неотрицательными членами. вместо Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., мы видим, что при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами.. Значит, при Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами., т. е. Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

Поскольку ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится, то расходится и исследуемый ряд.

Пример 2.10. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

Решение. При Ряды с неотрицательными членами. справедливо неравенство Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами. и, следовательно,

Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

При Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., и ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится (см. пример 2.4). Тогда расходится ряд Ряды с неотрицательными членами. (теорема 1.1). Из неравенства Ряды с неотрицательными членами., Согласно мажорантному признаку сравнения получаем, что при Ряды с неотрицательными членами. данный ряд расходится.

Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Тогда найдется число Ряды с неотрицательными членами. такое, что Ряды с неотрицательными членами.. Применив неравенство (2.5) для этого Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., получим: Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Тогда Ряды с неотрицательными членами., и ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится (пример 2.4). Из неравенств Ряды с неотрицательными членами. согласно мажорантному признаку сравнения следует, что при Ряды с неотрицательными членами. данный ряд сходится.

Пример 2.11. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами.- число цифр числа Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Сначала получим формулу для Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами.- число цифр числа Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами., откуда логарифмируя, получаем: Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами., т. е. Ряды с неотрицательными членами.. Очевидно, что Ряды с неотрицательными членами.. Итак, получена оценка: Ряды с неотрицательными членами., из которой следует, что

Ряды с неотрицательными членами.. (2.7)

Рассуждая как при решении примера 2.10, легко установить, что сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.. Как уже упоминалось, сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.. Согласно теореме 1.1 сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.. Наконец, из неравенства (2.7) следует сходимость ряда Ряды с неотрицательными членами..

Упражнения.

Используя мажорантный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды 2.1-2.6:

2.1. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.2 Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.3. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.4. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.5. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.6. Ряды с неотрицательными членами.Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.7. Пусть ряд Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., сходится. Доказать, что сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.. Указание: применить неравенство Ряды с неотрицательными членами..

Признак сравнения в предельной форме. Пусть даны ряды Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., и Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Тогда 1) если Ряды с неотрицательными членами. и сходится ряд Ряды с неотрицательными членами., то сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.; 2) если Ряды с неотрицательными членами. и расходится ряд Ряды с неотрицательными членами., то расходится Ряды с неотрицательными членами.. Таким образом, при Ряды с неотрицательными членами. оба ряда одновременно сходятся или расходятся.

Следствие 1. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., и Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами., т. е. Ряды с неотрицательными членами.. Тогда ряды Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами. сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 2. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. и существуют числа Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами. такие, что Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Тогда ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится, если Ряды с неотрицательными членами. и расходится, если Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. При решении примера 1.10 было установлено, что Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится. То согласно признаку сравнения в предельной форме данный ряд расходится.

Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Известно, что Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Кроме того, Ряды с неотрицательными членами. (см. утверждение 1.1). Поэтому Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами. и, следовательно, Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится (см. пример 1.5). В силу следствия 1 данный ряд сходится.

Пример 2.14. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

Решение, Имеем:

Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. (2.8)

Поступая также, как при решении примера 1.10, получим:

Ряды с неотрицательными членами.И, аналогично, Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому (см. (2.8)) Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится при Ряды с неотрицательными членами. (см. пример 2.4). Согласно следствию 2 данный ряд сходится при Ряды с неотрицательными членами..

При исследовании рядов, члены которых содержат факториалы, иногда бывает полезной формула Стирлинга:

Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.15. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Применив формулу Стирлинга: Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится при Ряды с неотрицательными членами. (см. пример 2.4). В силу следствия 2 исследуемый ряд сходится при Ряды с неотрицательными членами..

Упражнения.

Используя признак сравнения в предельной форме, исследовать на сходимость ряды:

2.8. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.9. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.10. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.11. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится, если Ряды с неотрицательными членами. и расходится, если Ряды с неотрицательными членами..

2.12. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится, если Ряды с неотрицательными членами. и расходится, если Ряды с неотрицательными членами..

2.13. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится, если Ряды с неотрицательными членами. и расходится, если Ряды с неотрицательными членами..

Признак Даламбера. Ряд Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. 1) сходится, если существуют такие Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., что для всех Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., в частности, если Ряды с неотрицательными членами.; 2) расходится, если Ряды с неотрицательными членами. для всех Ряды с неотрицательными членами., в частности, если Ряды с неотрицательными членами..

Если Ряды с неотрицательными членами., то ряд Ряды с неотрицательными членами. может как сходится, так и расходится.

Следствие. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. и существует Ряды с неотрицательными членами.. Тогда при Ряды с неотрицательными членами. ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится, а при Ряды с неотрицательными членами.- расходится. При Ряды с неотрицательными членами. ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 2.16. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами. для всех Ряды с неотрицательными членами., то согласно признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 2.17. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами., и в силу следствия признака Даламбера ряд расходится.

Пример 2.18. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. и поэтому ряд сходится.

Пример 2.19. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами., то ряд сходится.

Пример 2.20. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Все члены последовательности Ряды с неотрицательными членами. содержатся в последовательностях Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами., и признак Даламбера ответа не дает. Данный ряд можно исследовать с помощью приводимого ниже радикального признака Коши.

Упражнения.

Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды:

2.14. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.15. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.16. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.17. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.18. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.19. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.20. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

Радикальный признак Коши. Ряд Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. 1) сходится, если существуют такие Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами., что для всех Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., в частности, если Ряды с неотрицательными членами.; 2) расходится, если Ряды с неотрицательными членами. для всех Ряды с неотрицательными членами., в частности, если Ряды с неотрицательными членами..

Если Ряды с неотрицательными членами., то ряд Ряды с неотрицательными членами. может как сходится, так и расходится.

Следствие. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., и существует Ряды с неотрицательными членами.. Тогда при Ряды с неотрицательными членами. ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится, а при Ряды с неотрицательными членами.- расходится. При Ряды с неотрицательными членами. ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 2.21. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами. .

Решение. Общий член данного ряда можно записать в виде

Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами..

Ясно, что

Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами..

Значит, для всех Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами.. Согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.

Пример 2.22. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами..

Значит, Ряды с неотрицательными членами., и согласно следствию радикального признака Коши ряд сходится.

Пример 2.23. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Имеем: Ряды с неотрицательными членами., т. к. Ряды с неотрицательными членами. и, аналогично, Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами.. Значит, ряд сходится.

Упражнения.

Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряды:

2.21. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.22. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.23. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.24. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.25. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.26. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.27. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

Интегральный признак Коши. Если функция Ряды с неотрицательными членами. неотрицательна и убывает на промежутке Ряды с неотрицательными членами., где Ряды с неотрицательными членами., то ряд

Ряды с неотрицательными членами.

И несобственный интеграл

Ряды с неотрицательными членами.

Сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2.24. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Рассмотрим функцию Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Ясно, что Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами., т. е. Ряды с неотрицательными членами. убывает на промежутке Ряды с неотрицательными членами.. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами..

Значит, несобственный интеграл Ряды с неотрицательными членами. сходится и согласно интегральному признаку Коши сходится и данный ряд.

Пример 2.25. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. При Ряды с неотрицательными членами. справедливо неравенство Ряды с неотрицательными членами. и, следовательно, Ряды с неотрицательными членами.. Пусть Ряды с неотрицательными членами.- наибольшие из чисел: 2 и Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку функция Ряды с неотрицательными членами. положительна и убывает на промежутке Ряды с неотрицательными членами., то для исследования ряда на сходимость можно применить интегральный признак Коши. При Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами.. Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.. Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.. При Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.. Значит, несобственный интеграл Ряды с неотрицательными членами. сходится при Ряды с неотрицательными членами. и расходится при Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.26. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Поскольку при Ряды с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и, стало быть, Ряды с неотрицательными членами.. Ряд Ряды с неотрицательными членами. расходится (см. пример 2.25). Согласно мажорантному признаку сравнения данный ряд расходится.

Пример 2.27. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами..

Решение. ЕслиРяды с неотрицательными членами. , то Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому не выполнено условие (1.5) и ряд расходится.

Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Рассмотрим функцию Ряды с неотрицательными членами. на промежутке Ряды с неотрицательными членами.. Имеем: Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Функция Ряды с неотрицательными членами. положительна и убывает на промежутке Ряды с неотрицательными членами.. Исследуем на сходимость несобственный интеграл Ряды с неотрицательными членами.. Для этого найдем интеграл Ряды с неотрицательными членами.. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Применим формулу интегрирования по частям Ряды с неотрицательными членами., положив Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами.. Тогда Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами. и Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому Ряды с неотрицательными членами.

Ряды с неотрицательными членами..

Если Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами. и согласно (2.6) предел Ряды с неотрицательными членами. существует и конечен. При Ряды с неотрицательными членами. этот предел бесконечен. При Ряды с неотрицательными членами. имеем:

Ряды с неотрицательными членами..

Итак, несобственный интеграл Ряды с неотрицательными членами. и, следовательно, данный ряд сходятся при Ряды с неотрицательными членами. и расходятся при Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.28. Исследовать на сходимость ряд Ряды с неотрицательными членами..

Решение. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Если Ряды с неотрицательными членами., то, очевидно, Ряды с неотрицательными членами. и ряд расходится. Пусть Ряды с неотрицательными членами.. Тогда согласно (2.6) Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому можно применить эквивалентность Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами., взяв Ряды с неотрицательными членами.. Имеем: Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами.. Использовав следствие 1 признака сравнения в предельной форме и пример 2.27, получаем, что данный ряд сходится при Ряды с неотрицательными членами..

Пример 2.29. Пусть Ряды с неотрицательными членами., Ряды с неотрицательными членами., и Ряды с неотрицательными членами.. Доказать, что ряд Ряды с неотрицательными членами. сходится.

Решение. Выберем число Ряды с неотрицательными членами. так, что Ряды с неотрицательными членами.. Из определения верхнего предела следует, что найдется такое натуральное число Ряды с неотрицательными членами., что Ряды с неотрицательными членами. при Ряды с неотрицательными членами.. Значит, Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами., то получаем: Ряды с неотрицательными членами.. Поскольку Ряды с неотрицательными членами., то Ряды с неотрицательными членами.. Но тогда, как установлено в примере 2.25, сходится ряд Ряды с неотрицательными членами.. Поэтому в силу мажорантного признака сравнения сходится ряд Ряды с неотрицательными членами..

Упражнения.

Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряды:

2.28. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.29. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: расходится.

2.30. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.31. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: сходится.

2.32. Ряды с неотрицательными членами.. Ответ: ряд сходится при любом Ряды с неотрицательными членами., если Ряды с неотрицательными членами., и при Ряды с неотрицательными членами., если Ряды с неотрицательными членами.; ряд расходится при любом Ряды с неотрицательными членами., если Ряды с неотрицательными членами., и при Ряды с неотрицательными членами., если Ряды с неотрицательными членами..

 
Яндекс.Метрика
Наверх