Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

PDF Печать E-mail

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

ЗАДАЧА 1

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:

А) длину ребра А1 В1;

Б) косинус угла между векторами Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ;

В) уравнение ребра А1 В1;

Г) уравнение грани А1 В1 С1;

Д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;

Е) координаты векторов Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

Ж) координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , где Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии середины ребер А1 D1 и В1 С1 соответственно;

З) разложение вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии по базису Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии если А1(-2,2,2), В1(1,-3,0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).

Решение

А) Найдем координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии по формуле

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии - XА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ; YВ Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии - YА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ; ZВ Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии - ZА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , где (ХА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , YА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , ZА Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ) – координаты точки А1, (ХВ Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , YВ Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , ZВ Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ) – координаты точки В1.

Итак, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Тогда Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Итак, длина отрезка Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (или длина вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ) равна Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии . Это и есть искомая длина ребра.

Б) Координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии уже известны, осталось определить координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии : Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Угол между векторами Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии и Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии вычислим по формуле Cos Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ,

Где скалярое произведение векторов Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии и Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии равно ( Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии )= 3 ´ 8 + (-5) ´ 0 + (-2) ´2 = 24 + 0 - 4=20, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Итак, Cos Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

В) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1,-3,0) через Х1=1, У1 = -3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии или Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Г) Обозначим координаты векторов Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии и Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии через Х1=3, У1= -5, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 1= -2 и Х2=8, У2= 0, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 2=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1 то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 0) перпендикулярно вектору Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , которое имеет вид

А Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Подставим координаты точки А1 (Х0=-2, У0=2, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А=-10, В=-22, С=40 в это уравнение:

– 10 ( Х + 2 ) - 22 (У - 2) + 40 ( Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: -10х - 22у + 40 z-56=0 или

-- 11у + 20 z - 28=0.

Д) Вектор Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии с заданным направляющим вектором: Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , где Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии или Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Е) Координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Обозначим Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Чтобы доказать, что векторы Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии - Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии + Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

= Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Вычислим определитель

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (5) Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии +(2) Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = 3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (0 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (3) 5 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 2)+5 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (3) 7 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 2)

- 2 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 5 7 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 0) =3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (10)+5 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (24 14) 2 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 40=30 190 80 = 300.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии образуют линейно независимую систему.

Ж) Сначала найдем координаты точек М и N соответственно. Координаты точки

М = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

N = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Получаем вектор Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

З) Обозначим через Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии координаты вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии в базе Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Тогда Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Так как

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии + Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии + Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ; Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

= Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии + Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии + Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ,

То приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

(1) Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2) Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Тогда Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии z Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , где

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Для системы (1) определитель

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии +7 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

= 3 ( 10) 8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ( 15 + 10 ) + 7 ( 10) = 30 200 70 = 300;

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = 2 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии +7 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 2 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии +7 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

=3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =3 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 8 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии +2 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

= Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

По формулам Крамера Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Итак, разложение вектора Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии по базису ( Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ) имеет вид

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

ЗАДАЧА 2

Решите систему линейных уравнений

А) методом Крамера;

Б) методом Гаусса;

В) с помощью обратной матрицы.

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Решение

А) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ,

Где Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии (Подробности смотрите в пункте З) задачи 1.

Так как Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии ; то Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу,

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на 8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Данная матрица соответствует системе уравнений Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии и Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , то Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Отсюда, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Из Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии имеем Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Ответ: Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

В) Решение системы в этом случае равно Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , где Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии – обратная матрица для матрицы Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии , Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии – столбец свободных членов, Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

А = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Вычислим ее определитель Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = 4 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 4 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии 6 Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

= Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Тогда Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии и

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии =

= Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии = Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии .

Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами совпадают между собой.

Ответ: Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

 
Яндекс.Метрика
Наверх