4.2 Системы линейных уравнений

Произвольная система линейных уравнений имеет вид

(1)

Где и – натуральные числа. Числа называются коэффициентами системы, – свободными членами и являются заданными, называются неизвестными и являются искомыми. Кратко систему можно записать в виде .

Определение. Решением системы (1) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в систему (1) вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Подчеркнем, что набор – одно решение системы (1), то есть .

Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

При решении систем линейных уравнений возникают следующие вопросы:

1) является ли система совместной;

2) если система совместна, то определенна или неопределенна;

3) если система определенна, то как найти ее единственное решение;

4) если система неопределенна, то как описать множество ее решений.

С системой линейных уравнений связаны две матрицы: матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных , которая называется основной, и матрица , получаемая добавлением к основной матрице столбца свободных членов и называемая расширенной матрицей системы (1).

Критерий совместности системы (1) дает следующая теорема.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Если все свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной, в более общем случае, когда хотя бы один из свободных членов отличен от нуля – неоднородной.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как для нее (столбец, состоящий из нулей, вычеркивается при подсчете ранга матрицы).

Рассмотрение методов решения систем линейных уравнений начнем с частного вида систем, когда , то есть, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

< Предыдущая		Следующая >