01.16. Изоморфизм линейных пространств

Видимая необъятность множества всех N-мерных пространств над данным полем, казалось бы, является препятствием для построения и развития сколько-нибудь общей теории таких пространств.

Оказывается, это не так. Мы сейчас покажем, что над данным полем существует в некотором смысле, лишь одно пространство данной размерности.

Def: Два пространства V и V¢ называются изоморфными, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие X ↔ x¢. Причем такое, что, если X ↔ x¢, Y ↔ y¢, то X + y ↔ x¢ + Y¢ и aX ↔ aX¢.

24°. Два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем K Изоморфны тогда и только тогда, когда dimV = dimV¢.

◀ Необходимость.

А) при изоморфизме q « q¢. Пусть qÎV нейтральный элемент в V и X ↔ x¢, q « q¢. х = q + Х « q¢ + X¢. Учитывая, что X ↔ x¢ Þ q¢ + X¢ = X¢, т. е. q¢ нейтрален в V¢.

Б) Если V и V¢ изоморфны и {A1, … , An} ↔ {A¢1, … , A¢N}, то из линейной независимости {Ai} следует линейная независимость {A¢I}.

Действительно, пусть a1 A¢1 + …+ aN a¢N = q¢ ↔ A1 A1 + …+ aN an = q Þ a1 = a2 = …= = aN = 0. Итак, максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах совпадает, т. е. dimV = dimV¢.

Достаточность. Пусть dimV = dimV¢ = N, – базис в V; , базис в V¢, установим соответствие E1↔ E¢1, E1↔ E¢2, …, En ↔ E¢n. Тогда X = S aI ei ↔ X¢ = S aI e¢i; aX = SaaI ei ↔ ↔ S aaI e¢i = aX¢; X + Y = S (aI + bI)Ei ↔ S (aI + bI)E¢i . Таким образом, построенное соответствие есть изоморфизм пространств V И V¢. ▶

Итак, изучение всех линейных пространств dimV = N можно свести к изучению Аn – арифметического пространства той же размерности: XÎАn → X = (A1, A2, …, an).

< Предыдущая		Следующая >