Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике УМК - Теория вероятностей и элементы математической статистики 2.2. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины

2.2. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины

PDF Печать E-mail

Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Он одновременно указывает и на значение случайной величины и на его вероятность. Однако часто в теории вероятностей и в ее приложениях большую роль играют постоянные числа, которые можно получить, используя законы распределения. В этом параграфе рассмотрим математическое ожидание или среднее значение случайной величины.

Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

Xi X1 X2 ,…, Xn,…

Pi P1 P2 ,…, Pn,…

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины x называется сумма произведений возможных значений Xi на соответствующие им вероятности Pi. Будем обозначать математическое ожидание как M(x). Тогда можно написать, что математическое ожидание вычисляется по формуле

M(x)=X1 P1 +X2 P2 +… Xn Pn +…= , (2.15)

Если числовой ряд сходится абсолютно. Если числовой ряд (2.15) расходится или сходится условно, то в этом случае математическое ожидание случайной величины x не существует.

Пример 2.6. Найдем среднее число очков при одном подбрасывании правильного кубика. Используя ряд распределения из примера 2.3

Xi 1 2 3 4 5 6

Pi

По формуле (2.15) находим математическое ожидание

M(x)=1*+2* + 3* + 4*+ 5* + 6*=3,5.

Пример 2.7. Найдем среднее число суммы очков на двух кубиках.

Используя ряд распределения

η 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pi ,

Получаем M(x)=2×+3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×+12×= ==7.

Пусть x обозначает Непрерывную случайную величину с плотностью вероятности F(X).

Определение. Математическим ожиданием M(x) абсолютно непрерывной случайной величины x называется величина, равная

, (2.16)

Если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины x не существует.

Пример 2.8. Пусть случайная величина x имеет равномерный закон распределения. В этом случае плотность вероятности F(X) имеет вид

. (2.17)

Тогда по формуле (2.16) получаем формулу для вычисления математического ожидания равномерно-распределенной случайной величины M(x)==++==.

Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

Xi x1 x2 ,…, xn,…

Pi p1 p2 ,…, pn,… ,

И G(X)Некоторая функция переменной X. Новая случайная величина η = G(ξ) будет дискретной случайной величиной с рядом распределения

G(Xi)

pi p1 p2 , …, pn… ,

Причем вероятности этих значений остаются теми же, что и для случайной величины x, а значениями будут числа G(Xi). Тогда математическое ожидание случайной величины η = G(ξ) можно вычислить по формуле

. (2.18)

Пусть x обозначает случайную величину с плотностью вероятности F(X). Тогда математическое ожидание случайной величины η = G(ξ) можно вычислить по формуле

* , (2.19)

Если несобственный интеграл сходится абсолютно.

Определение. Математическое ожидание Дискретной случайной величины определяется формулой

, (2.20)

Если числовой ряд (2.20) сходится абсолютно.

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина принимает только одно значение x=C, то M(C)=C.

2. При умножении случайной величины на постоянное число С Математическое ожидание случайной величины x умножается на это же число, т. е. справедливо равенство M(CX)=CM(X).

3. Свойство линейности. При сложении случайных величин математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т. е. справедливо равенство M(X+H)=M(X)+M(H).

В частности, M(X+C)=M(X)+C.

4. Мультипликативное свойство. Если случайные величины x, h независимы, то M(XH)=M(X)M(H).

 
Яндекс.Метрика
Наверх