14. Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H1, H2,..., Hn , обладающая следующими свойствами:

1) Все события попарно несовместны: HI ∩ Hj =; I, J=1,2,...,N; iJ

2) Их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W=H1U H2U... U Hn.

В этом случае будем говорить, что H1, H2,...,Hn образуют Полную группу событий. Такие события иногда называют Гипотезами.

Пусть А - некоторое событие: А Ì W. Тогда имеет место Формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn) =

Доказательство. Очевидно: A = (A∩H1) U (A∩H2) U...U (A∩Hn), причем все события A∩Hi (I = 1,2,...,N) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P(A∩H1) + P(A∩H1) +...+P(A∩Hn )

Если учесть, что по теореме умножения P(A∩HI) = P(A/HI) P(HI) (I = 1,2,...,N), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30, второго - 50, третьего - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 3 и 2. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:

P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбранна бракованная лампа из ламп, произведенных на I-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

< Предыдущая		Следующая >