32.1. Элементы системы массового обслуживания (смо). Формулировка задачи и характеристики смо

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: оче­редь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вы­шедших из строя и ожидающих ремонта, и т. д. Все эти ситу­ации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следст­вием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих сис­тем, которые называют Системами массового обслуживания (СМО).

Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под конт­роль некоторые характеристики системы, установить зави­симость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслужинания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и вы­даче их со склада; обработке широкой номенклатуры дета­лей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т. д.

Основными элементами СМО являются Источники заявок, Их Входящий поток, каналы обслуживания и Выходящий по­ток. Схематически это изображено на рис. 32.1.

В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

1) системы с отказами, в которых при занятости всех кана­лов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых за­явка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.

Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на однока­нальные и многоканальные.

В зависимости от расположения источника требований сис­темы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой сис­теме) .

Рассмотрим в отдельности элементы СМО.

Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одно­временного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется тем, что по­ступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежу­ток времени T, равно K, определяется по закону Пуассона

Где λ — Интенсивность потока заявок, т. е. среднее число за­явок в единицу времени:

Где — среднее значение интервала времени между двумя со­седними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероят­ности

Случайное время ожидания в очереди начала обслужива­ния считают распределенным экспоненциально:

Где V — интенсивность движения очереди, т. е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:

Где Оч — среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания Обc является слу­чайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

Где μ — Интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

Где Обс — среднее время обслуживания.

Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, яв­ляется Интенсивность нагрузки

Рассмотрим N-канальные разомкнутые СМО.

< Предыдущая		Следующая >