8.4. Комплексные числа

Множество R действительных чисел «ведет себя иде­ально» по отношению ко всем арифметическим опера­циям в том смысле, что при сложении, вычитании, ум­ножении и делении двух действительных чисел снова получается действительное число. Однако квадратные корни можно извлекать только из положительных дей­ствительных чисел. Этот факт создает большие неудоб­ства, в частности, при решении алгебраических уравне­ний. Вы знаете, например, что квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант является неотрицательным. Таким образом, одни уравнения имеют два корня, а другие — ни одного. Аналогично обстоит дело и с уравнениями других степеней. Например, уравнение Х3 = 1 имеет только один действительный корень Х = 1, а уравнение Х3 – 7Х + 6 = 0 — три корня: 1, 2, –3.

Но уже в XVI в. математики поняли, каким образом можно записать решения любого квадратного уравне­ния, даже с отрицательным дискриминантом. История началась с того, что в 1545 г. итальянский математик Кардано опубликовал формулу для вычисления корней кубического уравнения. Однако в некоторых случаях эта формула давала странный результат. Например, ко­рень –3 уравнения Х3 – 7Х + 6 = 0 с помощью формулы Кардано записывается таким образом:

Получалось, что это выражение имеет смысл несмотря на то, что содержит квадратный корень из отрицатель­ного числа! Объяснение нашел другой итальянский ма­тематик XVI в. Рафаэль Бомбелли. В 1572 г. он опубли­ковал книгу «Алгебра», в которой изложил теорию Комплексных чисел. Мы расскажем об основных идеях этой теории, используя современную математическую терминологию.

Обозначим выражение буквой I,

,

И назовем его Мнимой единицей. Мнимая единица не является действительным числом, но мы распространим на нее все алгебраические свойства действительных чи­сел. Будем считать, по определению, что мнимую еди­ницу можно умножать на действительные числа и при­бавлять к действительным числам. Таким образом, мы. расширили поле действительных чисел, добавив к нему новый элемент i. В результате появились другие новые элементы, которые записывают в виде А + Bi и называют Комплексными числами. Комплексное число А + Bi по­лучается, если мнимую единицу I умножить на действи­тельное число B и прибавить к результату действитель­ное число А. Если B = 0, то комплексное число является действительным. Следовательно, действительные числа составляют часть комплексных чисел. Положим также, по определению, что

.

Комплексные числа будем складывать и умножать по следующим правилам:

Заметим, что правая часть второго равенства получается как результат почленного перемножения и приведения подобных членов с учетом равенства I2 = –1. Например,

Для каждого комплексного числа можно найти ему об­ратное. Например,

Операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются аксиомам (1), откуда следует, что множе­ство всех комплексных чисел образует Поле. Поскольку оно содержит все действительные числа, то говорят, что Поле комплексных чисел получено расширением поля действительных чисел.

С помощью комплексных чисел можно записать корни любого квадратного уравнения (это впервые сде­лал Бомбелли). Например, уравнение Х2 = –1 имеет кор­ни I и –I, т. к. (±I)2 = –1; корни уравнения Х2 – х + 1 = 0 записываются следующим образом:

Теперь мы можем объяснить, почему сумма (7) будет действительным числом. Первый из двух кубических корней представляет собой комплексное число , второй (проверьте это возведением в куб!). Их сумма равна –3.

Хотя комплексные числа были открыты в XVI в., по-настоящему их роль поняли значительно позже, в начале XIX в. Этому предшествовал ряд замечательных открытий в математике. Вот некоторые из них.

В конце XVIII в. Гаусс дал строгое доказательство так называемой основной теоремы алгебры.

Основная Теорема Алгебры: Всякое алгебраическое уравнение степени п с комплексными коэффициентами имеет ровно п комплексных корней.*

* Поэтому о поле комплексных чисел говорят, что оно являет­ся Алгебраически замкнутым.

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер открыли формулу

ЕIA = cos a + I sin a,

Из которой при a = p получается удивительное соотношение

ЕIA = –1,

Связывающее мнимую единицу I с тремя замечательны­ми числами Е, p и 1.

Наконец, ряд математиков, в том числе и Гаусс, на­чали представлять комплексные числа геометрически, как точки плоскости. При этом комплексному числу А + Bi Соответствует точка с координатами (а, b).

Комплексные числа применяются во многих разделах математики, физики, механики и т. д. Вот несколько примеров из истории развития авиации. В начале XX в. века русский ученый Н. Е. Жуковский, которого назы­вают отцом авиации, в своих теоретических разработках нашел некоторые виды сложных траекторий полета са­молета, которые впоследствии были названы фигурами высшего пилотажа. Вскоре после этого одну из таких фи­гур выполнил известный летчик П. Н. Нестеров. В честь его она так и называется: петля Нестерова.

Другой русский ученый М. В. Келдыш (впоследствии Президент Академии наук СССР) решил проблему Флат­тера (внезапная вибрация самолета, приводящая к его разрушению во время полета), проблему Шимми (разру­шение колес при посадке самолета). Оба ученых пользо­вались в своих расчетах методами комплексного анализа.

< Предыдущая		Следующая >