_116. Элементы топологии

Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Определение. Окрестностью точки Р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке Р.

Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке Р.

Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

1) Точка Р принадлежит любой своей окрестности.

2) Если U – окрестность точки Р, а V É U, то V – тоже окрестность точки Р.

3) Если U и V – окрестности точки Р, то их пересечение U Ç V тоже будет окрестностью точки Р.

4) Если U – окрестность точки Р, то можно найти такую окрестность V точки Р, что W = V Ì U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого Р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки Р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть Р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F Окрестностью Точки Р в F, если U=FÇV, где V – окрестность точки Р в E.

При этом множество F называется Подпространством пространства Е.

< Предыдущая		Следующая >