_106. Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В Дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (A + B)N в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

- число Сочетаний из П элементов по K.

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример. В разложении найти члены, содержащие ХA, если K=3, P=2, N=8, A=9.

По фомуле бинома Ньютона имеем:

C учетом числовых значений:

В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т. к. необходимо найти только член разложения, содержащий Х9.

Найдем число I, соответствующее этому члену:

Находим:

Пример. В разложении найти члены, содержащие XG. Т=9, G=6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения Ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т. к. надо найти только члены, содержащие Х6, то N1 = 6, а сумма всех четырех значений П равна 9. Значит, сумма П2 + п3 + п4 = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

N2	0	0	3	1	1	0	2	0	2	1
N3	0	3	0	2	0	1	1	2	0	1
N4	3	0	0	0	2	2	0	1	1	1

Искомые члены разложения:

< Предыдущая		Следующая >