Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Краткий курс лекций по дифференциальному исчислению 6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Признаки монотонности функции. Задача исследования функции на монотонность

6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Признаки монотонности функции. Задача исследования функции на монотонность

PDF Печать E-mail

Определение. Функция называется Неубывающей (Невозрастающей) на интервале , если выполняется неравенство . Если имеет место строгое неравенство, то функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале .

Теорема.

1) Для того, чтобы функция не убывала (не возрастала) на интервале , необходимо и достаточно, чтобы

.

2) Если на , то функция строго возрастает (убывает) на .

Необходимость. Пусть функция не убывает на , тогда при имеем

Достаточность. Пусть на , тогда по формуле Лагранжа

.

Поскольку , то , т. е. функция не убывает.

Аналогично доказывается утверждение 2).

Замечание. Из строгого возрастания (убывания) функции на интервале не следует . Так, функция строго возрастает на , но .

В задаче исследования функции на монотонность следует определить критические и стационарные точки. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или существует, но равна бесконечности, либо производная равна нулю. Последние устанавливаются как решения уравнения . Стационарными точками называются точки, в которых производная равна нулю. Множество стационарных точек является подмножеством множества критических точек. Поэтому, если производная существует во всей области исследования функции, то следует найти только стацио-нарные точки.

Пример. Найти интервалы монотонности функции

.

Функция определена на всей числовой оси. Ее производная также определена на всей числовой оси. Поэтому найдем только стационарные точки функции, т. е. точки, в которых производная равна нулю. Для этого следует решить уравнение . Вся ось разбивается на интервалы . В первом интервале - функция монотонно возрастает, во втором - убывает, в третьем - снова возрастает.

 
Яндекс.Метрика
Наверх