Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Краткий курс лекций по дифференциальному исчислению 6.2. Условия наличия экстремумов функции. Задача исследования функции на экстремум

6.2. Условия наличия экстремумов функции. Задача исследования функции на экстремум

PDF Печать E-mail

Необходимое условие экстремума.

Если точка является точкой экстремума функции , то либо , либо не существует .

Доказательство. Если в точке экстремума существует производная , то по теореме Ферма .

Замечание. Условие не является достаточным условием наличия экстремума. Так, у функции производная , но точка не является точкой экстремума.

Пример. Функция имеет минимум в точке , хотя у нее не существует производной в точке , т. к. .

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрест-ности точки . Если ее производная меняет знак при переходе через точку , то является точкой экстремума, причем точкой максимума, если производная меняет знак с “+” на “-” и точкой минимума, если с “-” на “+”.

Доказательство. По теореме Лагранжа

.

При имеем слева от точки . При имеем справа от точки , т. е. точка является точкой строгого максимума.

Аналогично рассматривается случай минимума.

В задаче исследования функции на экстремум функции сначала следует определить критические и стационарные точки, а потом использовать достаточный признак экстремума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем . Производная существует на всем мно-жестве определения функции, поэтому остается найти только стационарные точки, в которых . Из уравнения находим - единственная стационарная точка. Слева от точки имеем , а справа . Поэтому есть точка максимума, причем

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция дифференцируема раз в точке и , но . Тогда, если (четное число), то является точкой максимума при и точкой минимума при . Если же (нечетное число), то является точкой возрастания функции при и убывания при .

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема дваж-ды в точке . Если , то является точкой экстремума, а именно, точкой максимума, если и точкой минимума, если .

Следствие 2. Пусть функция дифференцируема в точке . Если , то является возрастания функции, а если - точкой убывания.

Доказательство. Запишем формулу Тейлора -го порядка для функции в окрестности точки и учтем, что , получим

.

Если , то знак не зависит от знака , и поэтому знак сохраняется при переходе через точку , а именно , если - максимум и , если - минимум.

Если , то знак зависит от знака , а т. к. последний меняется при переходе через точку , то Не является точкой экстремума. Далее, при переходе через точку величина меняет знак с “-” на “+”; при величина Меняет знак с “-” на “+” и точка является точкой возрастания функции ; при величина Меняет знак с “+” на “-” и является точкой убывания.

Пример 2. Функция имеет стационарную точку . Найдем производные . Подставим точку во вторую производную, получим . Поэтому является точкой максимума.

 
Яндекс.Метрика
Наверх