6.11. Уравнения, не содержащие функции

Это – уравнения вида:

(в уравнении нет ). (4.4)

Если ввести новую неизвестную функцию , зависящую от , по формуле

(4.5)

И учесть, что

, (4.6)

То уравнение второго порядка (4.4) преобразуется в уравнение первого порядка

(4.7)

Интегрируя его (если это удастся), найдем его общее решение , а значит, согласно (4.5), получим:

(4.8)

Интегрируя теперь уже уравнение (4.8), получим:

(4.9)

Это и есть общее решение уравнения (4.4).

Заметим, что если у уравнения (4.7) окажутся особые решения , то будут особые решения

… (4.10)

И у уравнения (4.4). Причем, в силу произвольности констант …, их будет бесчисленное количество.

Пример 1. Решить уравнение

(4.11)

Решение. Данное уравнение является уравнением вида (4.4), так как в нем нет . Вводя, в соответствии с (4.5) и (4.6), новую неизвестную функцию , получим для этой функции уравнение первого порядка:

(4.12)

Это – дифференциальное уравнение вида при и при . То есть, в соответствии с (3.3), это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его по соответствующей схеме, изложенной в предыдущем параграфе.

1) (4.13)

Итак, одно частное решение уравнения (4.12) уже найдено: это функция .

2) Найдем общее решение уравнения (4.12), содержащее все его остальные частные решения:

| разделяем переменные Х и Р |

| интегрируем обе части | (4.14)

Это – общее решение уравнения (4.12). В него входит и найденное ранее частное решение (оно получается из общего решения при =0). То есть в него входят все частные решения уравнения (4.12). А теперь, учитывая, что , получим:

(4.15)

Это – общее решение уравнения (4.11). В него входят все частные решения этого уравнения.

< Предыдущая		Следующая >