1.8. Прямая на плоскости и ее уравнение

Как известно (см. также § 5), уравнения горизонтальных, вертикальных и наклонных прямых имеют соответственно вид:

Y = B; X = A; Y = Kx + B (7.1)

Все эти уравнения – частные случаи уравнения вида

, (7.2)

Которое называется Общим уравнением прямой на плоскости. Общим оно называется потому, что в этом виде можно записать уравнение любой прямой на плоскости. Впрочем, для горизонтальных, вертикальных и наклонных прямых удобнее записывать их конкретные уравнения (7.1).

Остановимся подробнее на уравнениях наклонных прямых , хорошо известных еще из школьного курса математики. Прямая L с уравнением изображена на рис. 1.22:

– см. рис. B – см. рис. B

Величина называется Угловым коэффициентом прямой L (прямой ), а величина B определяет точку пересечения этой прямой с осью Оу. Само уравнение называется Уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Для построения прямой по ее уравнению достаточно найти и нанести на плоскость Хоу любые две ее точки. Удобнее всего в качестве этих точек взять точки пересечения прямой с осями координат.

Пример 1. Построить линию L, имеющую уравнение (или, что то же самое, построить график функции ).

Решение. Данное уравнение – это уравнение вида при и . Но уравнение вида – уравнение наклонной прямой. Значит, наша линия L – наклонная прямая. Найдем точки ее пересечения с осями координат.

А) С осью ох: на оси Ох Y = 0, поэтому из уравнения прямой получаем: - точка пересечения прямой с осью Ох.

Б) С осью оу: на оси Оу X = 0, поэтому из уравнения прямой получаем: - точка пересечения прямой с осью Оу.

А теперь строим прямую L (рис. 1.23).

Пример 2. Найти угол , под которым прямая наклонена к оси Ох (см. рис. 1.23).

Решение. Из уравнения прямой определяем ее угловой коэффициент K: . Но . Значит, , откуда

(N = 0, ±1, ±2, …)

Согласно таблице (таблице Брадиса) . Значит,

(N = 0, ±1, ±2, …)

Так как , то угол острый (). Это подтверждает и рис. 1.23. Чтобы из предыдущей формулы получить такой угол , нужно в ней положить . В итоге получим окончательно: .

А теперь рассмотрим несколько важных стандартных задач на прямые на плоскости.

Задача 1. Пусть на прямой L известна только одна ее точка M0(X0; Y0). Каким будет уравнение этой прямой?

Решение. Если эта прямая вертикальная, то ее уравнением будет, очевидно, уравнение , а если горизонтальная – то уравнение . Если же прямая L наклонная, то для полного задания этой прямой, а значит, и для возможности найти ее уравнение нужно, кроме точки M0(X0; Y0), через которую проходит прямая, задать еще и угол – угол наклона прямой к оси Ох. Или, что более удобно, задать угловой коэффициент этой прямой (см. рис. 1.24).

M0(X0; Y0) – задана; – задан

Уравнение изображенной на рис. 1.24 прямой L будем искать в виде . Величина K уже известна. А для определения величины B подставим в это уравнение координаты (X0; Y0) точки M0, лежащей на прямой. В результате найдем B:

Подставляя найденное значение B в уравнение , получим:

(7.3)

Это и есть искомое уравнение прямой L, изображенной на рис. 1.24 (уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(X0; Y0) и имеющую заданный угловой коэффициент K).

Пример 3. Найти уравнение прямой L, изображенной на рис. 1.25.

Решение. Данная прямая L проходит через точку M0(2; 0) и имеет угловой коэффициент

.

Поэтому, согласно (7.3), получаем следующее уравнение прямой L:

 

 

 

Задача 2. Пусть теперь на наклонной прямой L заданы две какие-либо ее точки M1(X1; Y1) и M2(X2; Y2). Нужно найти уравнение этой прямой (рис. 1.26).

Решение. Уравнение данной наклонной прямой L будем искать в виде . Здесь ни K, ни B не известны. Но зато на прямой L известны две ее точки M1(X1; Y1) и M2(X2; Y2). Подставляя координаты каждой из них в уравнение прямой , получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными для определения K и B. Решая ее, получим:

(7.4)

Подставляя найденные значения K и B в уравнение , после упрощений получим:

(7.5)

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две заданные точки M1(X1; Y1) и M2(X2; Y2).

Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 2) и В(2; 0), и найти точку пересечения этой прямой с осью Оу.

Решение. Приняв точку А(-1; 2) за точку M1(X1; Y1), точку В(2; 0) за точку M2(X2; Y2) (а можно и наоборот!) и воспользовавшись уравнением (7.5), получим:

.

Это и есть искомое уравнение прямой (в форме общего уравнения (7.2)). Выразив из него Y, можем записать это уравнение и в явном виде :

.

Величина и определяет точку пересечения данной прямой с осью Оу. Эта прямая L изображена на рис. 1.27.

Задача 3. Пусть и – уравнения некоторых двух данных наклонных прямых. Требуется установить:

А) параллельны они или нет?

Б) перпендикулярны или нет?

В) если не параллельны и не перпендикулярны, то каков угол между ними?

Решение. а) Пусть прямые L1 и L2 параллельны (рис. 1.28 (а)):

Тогда , а значит, , ибо , а . Обратно, если , то , откуда следует, что или что отличается от на угол (). В любом из этих двух случаев прямые L1 и L2 одинаково наклонены к оси Ох, а значит между собой параллельны.

Таким образом, Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты:

(7.6)

Условие (7.6) называется Условием параллельности прямых.

Пример 5. Показать, что прямые и параллельны.

Решение. Из уравнения первой прямой следует, что ее угловой коэффициент . Чтобы получить угловой коэффициент K2 другой прямой , нужно привести её уравнение к виду - к виду с угловым коэффициентом. Делая это, получаем , откуда следует: . Так как , то указанные прямые действительно параллельны.

Б) Пусть прямые L1 и L2 перпендикулярны (рис. 1.28 (б)). Тогда углы их
наклона к оси Ох отличаются один от другого на прямой угол. То есть или . А значит, в любом случае имеет место равенство: . Но тогда

То есть получаем:

(7.7)

Условие (7.7) является Условием перпендикулярности прямых.

Пример 6. Подтвердить перпендикулярность прямых и .

Решение. Преобразуя уравнения этих прямых к виду (к виду с угловым коэффициентом), находим:

;

; .

Так как условие (7.7) выполняется, то указанные прямые перпендикулярны.

В) Пусть теперь прямые L1 и L2 составляют между собой угол (рис. 1.28 (в)), отличный от прямого. Впрочем, углом между прямыми можно, при желании, считать и угол . Но так как в сумме и составляют, очевидно, 180°, то зная , можно найти и : .

Угол , согласно рис. 1.28 (в), представляет собой разность углов и . То есть или , или . Найдя и , найдем и .

Пример 7. Найти угол между прямыми и .

Решение. Сначала построим прямые и обозначим на рисунке интересующий нас угол .

Из рисунка очевидно, что . Найдем и . Для этого сначала найдем и – угловые коэффициенты прямых:

;

; .

Отсюда следует:

Значит,

; .

Задача 4. Пусть – уравнение некоторой прямой L на плоскости в общем виде. И пусть M0(X0; Y0) – некоторая точка плоскости, не лежащая на этой прямой. Требуется найти расстояние D от указанной точки до указанной прямой.

Решение. Рассмотрим рис. 1.29. Если данная прямая L горизонтальна или вертикальна, то решение поставленной задачи труда, естественно, не представляет. Поэтому будем считать, что L – наклонная прямая. В этом случае задачу можно решить по следующей схеме:

1. Из заданного уравнения прямой L находим ее угловой коэффициент K.

2. Находим – угловой коэффициент прямой L*, проходящей через точку перпендикулярно прямой L.

3. Используя равенство (7.3), записываем уравнение прямой L*:

4. Решаем систему

Из уравнений прямых L и L* и находим точку M1(X1; Y1) – точку их пересечения.

5. Наконец, используя формулу (3.1) для нахождения расстояния между двумя точками плоскости, находим искомое расстояние .

Если осуществить приведенную выше схему, то в итоге получается следующая простая формула (убедитесь в этом самостоятельно):

(7.8)

Это – формула расстояния от заданной точки до заданной прямой . Кстати, эта формула оказывается справедливой не только для наклонной, но и для горизонтальной и для вертикальной прямой (убедитесь в этом самостоятельно).

Пример 8. В треугольнике ABC с вершинами А(-3;0); В(2;5); С(3;2) найти длину H высоты BD.

Решение. Искомая высота H есть расстояние от точки B до прямой L, проходящей через точки A и C. Чтобы найти это расстояние, нужно сначала найти уравнение этой прямой L. Его найдем, используя уравнение (7.5) прямой, проходящей через две заданные точки:

; .

Итак, – уравнение прямой АС (в общем виде). А теперь по формуле (7.8) найдем расстояние H от точки B до этой прямой:

.

< Предыдущая		Следующая >