2.13. Множественная корреляция

Перейдем теперь к случаю, когда выборочным путем изучается корреляционная зависимость (зависимость в среднем) одной величины от нескольких других (множественная корреляция). Ограничимся рассмотрением случая, когда изучается корреляционная зависимость некоторой величины Z От двух величин X и Y.

Будем считать, что при изучении этой зависимости проведено N Различных опытов, в которых измерялись значения всех трех величин и в которых пары (Xi; Yi) (I=1,2… N) значений величин X И Y варьировались следующим образом:

I	1	2	3	…	N	(5.50)
Xi	X1	X2	X3	…	Xn
Yi	Y1	Y2	Y3	…	Yn

Далее, будем считать, что каждый из этих опытов (при фиксированных (Xi; Yi)) повторен некоторое (не обязательно одинаковое) число раз Ni. Повторные опыты при одних и тех же значениях (Xi; Yi) дают, вообще говоря, различные значения Zij (J=1,2,…Ni) величины Z. Пусть

(I=1,2…N) (5.51)

- среднее их значение для каждого I-го опыта. В итоге совокупность всех опытных данных (корреляционная таблица) примет вид:

I (номер опыта)	1	2	3	….	N	(5.52)
Ni (повторность Опыта)	N1	N2	N3	….	Nn
Xi	X1	X2	X3	….	Xn
Yi	Y1	Y2	Y3	….	Yn
				….

Заметим, что общее количество N всех проведенных опытов найдется, очевидно, по формуле:

(5.53)

Основные задачи корреляционно – регрессионного анализа при множественной корреляции те же, что и при парной.

В частности, Первой основной задачей по исследованию корреляционной зависимости Z От X и Y является построение выборочного уравнения регрессии

, (5.54)

Наилучшим образом выравнивающего (сглаживающего) выборочные данные, а следовательно, являющегося наилучшим приближением Истинного (генерального) Уравнения регрессии

(5.55)

Заметим, что геометрически этому генеральному уравнению регрессии соответствует уже не линия регрессии на плоскости Хоу, а Поверхность регрессии в пространстве (X; Y; Z)

Второй основной задачей является оценка тесноты корреляционной зависимости Z от X и Y.

Ограничимся рассмотрением случая, когда наилучшее сглаживающееся уравнение регрессии (5.54) строится в линейной форме

(5.56)

То есть когда уравнение поверхности в пространстве (5.55) приближается (приближенно заменяется) уравнением плоскости в пространстве (5.56). Параметры (А;B;с) этого уравнения находятся, как обычно, методом наименьших квадратов:

(5.57)

Реализация необходимых условий минимума функции Q

(5.58)

Приводит к следующей системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными (А;B;с) (к так называемой Нормальной системе):

(5.59)

Решая эту нормальную систему, находим (А;B;с), а вместе с ними находим и наилучшее линейное уравнение (5.56), сглаживающее выборочные данные корреляционной таблицы (5.52). В своем окончательном виде оно таково:

(5.60)

Здесь

(5.61)

- выборочные средние величин X, Y и Z соответственно, а коэффициенты а и B находится по формулам:

(5.62)

При этом

(5.63)

- выборочные значения парных коэффициентов линейной корреляции между соответствующими парами величин X, Y, Z, а

(5.64)

- выборочные значения среднеквадратических отклонений величин X, Y и Z Соответственно. При подсчете выражений (5.63) и (5.64) используются аналогичные (5.13) формулы:

(5.65)

Вторая основная задача – установление тесноты линейной корреляционной зависимости Z От X и Y – решается с помощью так называемого Совокупного коэффициента линейной корреляции R(Z, XY) (или просто R), выборочное значение которого находится по формуле:

(5.66)

Доказано, что:

1. Совокупный коэффициент линейной корреляции имеет возможные значения в промежутке [0;1].

2. Если R=0, то Z не может быть связана с X и Y линейной корреляционной зависимостью. Однако при этом возможна нелинейная корреляционная и даже функциональная зависимость Z от X и Y.

3. Если R=1, то Z связана с X и Y линейной функциональной зависимостью вида

(5.67)

Для выборочных данных (Xi; Yi; Zij) последний случай означает, что все повторные (для разных J) значения Zij Совпадают и равны одному и тому же значению , а все пространственные точки (Xi; Yi; ) располагаются на одной и той же плоскости – а именно, на плоскости (5.56) (или, что одно и то же, на плоскости (5.60)).

4. Если R отличен от своих крайних значений (0 и 1), то при приближении R к единице теснота линейной корреляционной зависимости Z от X и Y увеличивается. Это значит, что экспериментальные пространственные точки (Xi; Yi; Zij) все теснее примыкают к плоскости (5.60).

< Предыдущая		Следующая >