1.2.2. Общее уравнение плоскости. Неполное уравнение

Раскрывая скобки и обозначая свободный член – Ax0 – By0 – Cz0 = D, получим общее уравнение плоскости В пространстве R3:

Ax+By+Cz+D=0, A2+B2+C2>0. (4)

Итак, линейное относительно текущих координат x, y,z уравнение (4) определяет плоскость в пространстве (причем, =(A, B,C) ее нормаль). Можно показать, что верно и обратное утверждение: всякое линейное уравнение (4) в пространстве R3 определяет некоторую плоскость.

Пример. Написать уравнения координатных плоскостей.

Для того, чтобы написать уравнение любой плоскости надо знать координаты какой-нибудь точки на плоскости и какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости.

В нашем примере все координатные плоскости проходят через точку M0(0,0,0) – начало координат.

А в качестве нормалей к координатным плоскостям можно взять соответственно базисные векторы .

Плоскость XOY: М0(0,0,0), (0,0,1)=(A, B,C).

0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0)=0

Уравнение плоскости XOY: z=0.

Плоскость YOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости YOZ: x=0.

Плоскость XOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости XOZ: y=0.

Заметим, что в нашем примере в уравнениях координатных плоскостей отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B,C равны нулю).

Уравнение плоскости (4), в котором хотя бы один из коэффициентов A, B,C или D равен нулю, называют Неполным уравнением плоскости. В этих случаях плоскость либо параллельна одной из координатных осей (один из коэффициентов A, B,C равен нулю, или, что то же, вектор нормали ортогонален одной из координатных осей); либо плоскость (4) параллельна одной из координатных плоскостей (два из коэффициентов A, B,C равны нулю, параллелен какой-нибудь координатной оси); если же коэффициент D уравнения (4) равен нулю, т. е. точка (0,0,0) удовлетворяет уравнению плоскости, плоскость проходит через начало координат.

< Предыдущая		Следующая >