94. Евклидовы пространства. Скалярное произведение в векторных пространствах. Определение, простейшие свойства и примеры евклидова пространства

Рекомендуемая литература

7. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

8. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

9. Воеводин В. В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

10. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А. В., Демидовича Б. П.. М.: Наука, 1981.

11. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

12. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1. Скалярное произведение в векторных пространствах. Определение, простейшие свойства и примеры евклидова пространства. Пусть V векторное пространство над полем действительных чисел R

Определение 1. Отображение множества V´V В R, которое каждой упорядоченной паре (A, B) векторов A, B Из V Ставит в соответствие единственное число из R, Обозначаемое (A, B) или Ab,Называется скалярным произведение, Если оно обладает свойствами:

1) (" A€V) aa ³ 0; Aa = 0 Û A = 0;

2) (" A, b €V) ab =ba;

3) (" A, b, c €V) a(B + C) = Ab + ac;

4) (" A, b €V) (" a€R) (aA)B =A(Ab).

Определение 2. Евклидовым пространством называется векторное пространство над полем R, на котором определено скалярное произведение векторов. Обозначаем n - мерное евклидово пространство символом En.

Свойство 1. 0×A = 0.

Доказательство. По свойству векторного пространства 0×B = 0 Для любого B €V . Отсюда по определению 1 и свойствам поля получим:

А×0 = А×(0×B)= (0×B)×А = 0×(B×А) = 0.

Свойство 2. (-A)B = -Ab.

Доказательство. По свойству векторного пространства (-1)×A = -A Для любого A €V . Отсюда по определению 1 и свойствам поля получим:

(-A)× b = ((-1)A)×B= (-1)(А×B) = -А×B = 0.

Свойство 3. .

Доказательство. Действительно, по определению при k = 2 имеем:

(a1A1 + a2A2)B = (a1A1)×B + (a2A2)×B = a1(A1×B) + a2(A2×B),

А в общем случае равенство доказывается методом математической индукции по K. 

Пример 1. Покажем, что в любом N-мерном векторном пространстве V Можно ввести скалярное произведение. Пусть V1 ,V2 ,... VN - базис V и произвольные векторы A, b €V разложены по базису.

A = A1V1 + A2V2 +...+ ANVN , B = B1V1 + B2V2 +...+ BNVN.

Определим скалярное произведение по формуле:

Аb = A1B1 + A2B2 + ... + AKBK .

Тогда Аb € Р и определено однозначно. Условие 1° следует из коммутативности умножения чисел в поле Р. Проверяя условие 2° рассмотрим еще вектор С = G1V1 + G2V2 +...+ GNVN. Тогда

A + B = (A1 + B1)V1 + (A2 + BN)V2 + ...+ (AN + BN)VN.

(A + B)C = (A1 + B1)G1 +(A2 + B2)G2 + ...+ (AK + BK)GK =

= (A1G1 +A2G2 + ...+ AKGK) + (B1G1 +B2G2 + ...+ BKGK) = Аb + ac .

Условие 3° проверяется аналогично.

Пример 2. Пространство геометрических векторов R3 является евклидовым пространством, если в нем скалярное произведение векторов Определено по формуле: , где - длины векторов ,j - угол между этими векторами. Проверка условий в определениях 1 , 4 производилась в курсе аналитической геометрии.

Пример 3. Арифметическое N-мерном RN над полем R является евклидовым, если в нем определить скалярное произведение по формуле:

АB = A1B1 + A2B2 + ... + AKBK ,

Где A = (A1, A2, ..., AN), B = (B1, B2, ..., BN) € RN. Проверку условий в определениях 1 , 4 произведите самостоятельно.

Пример 4. Любое N-мерном векторном пространстве V Над полем R является евклидовым, если в нем определить скалярное произведение по формуле:

АB = A1B1 + A2B2 + ... + AKBK ,

Где A = A1V1 + A2V2 +...+ ANVN , B = B1V1 + B2V2 +...+ BNVN разложения векторов A, b €V по некоторому базису V1 ,V2 ,... VN пространства V . Так как ранее (пример 1) было доказано, что это скалярное произведение, то осталось проверить, что Aa > 0 для любого A € V, a ≠ 0. Действительно, если A ≠ 0, то хотя одна из координат A1, A2, ..., AN вектора A неравна нулю и Aa = A12 + + A22 +...+ AN2 > 0.

Пример 5. Пространство С[A,B] непрерывных на отрезке [A,B] фуекций явлется евклидовым пространство, если вввести на нем скалярное произведение по формуле:

. (6)

Так как определенный интеграл от непрерывных функций существует, определен однозначно и принадлежит R, то проверим условия в определениях 1 и 5 используя свойства опрераций над функциями и свойства определенного интеграла.

1° =.

2° .

3° .

4° и если F ≠ 0, то F × f > 0.

< Предыдущая		Следующая >