93. Структура решений системы линейных уравнений

Рассмотрим СЛУ (1) и соответствующую ей ОСЛУ (2). Пусть Х - Множество решений СЛУ (1) (называемое Общим решением системы (1)), Х0 - Множество решений ОСЛУ (2) - общее решение системы (2), C - Данное решением СЛУ (1) - Частное решение СЛУ (1).

Теорема 3. Общее решение Х СЛУ (1) Равно сумме общего решения Х0 Соответствующей СЛОУ (2) И частного решения C СЛУ (1) , Т. е. справедливо равенство

Х = Х0 + Х0. (3)

Доказательство. Пусть C = (g1,g2, ..., gN) - некоторое фиксированное решение системы (1), т. е. справедлива система верных числовых равенств:

Ai1g1 + Ai2g2 + ... + AinGN = Bi , I = 1, 2, ...,M. (4)

Докажем равенство (3). Пусть А = (a1,a2, ..., aN) € Х. Тогда имеем следующие верные равенства:

Ai1a1 + Ai2a2 + ... + AinAN = Bi , I = 1, 2, ...,M. (5)

Вычитая почленно их равенств (5) соответствующие равенства (4) получим систему верных равенств:

Ai1(A1 - G1) + Ai2(A2 - G2) + ... + Ain(AN - GN) = 0 , I = 1, 2, ...,M.

Из этой системы равенств следует, что вектор А - X0 = (A1-G1,A2 -G2, ...,AN-GN) является решением системы (2), т. е. вектор B = А - X0 € X0. Поэтому А = B + X0 € Х0 + Х0 и Х Í Х0 + Х0.

Докажем обратное включение. Пусть А € Х0 + Х0. Тогда А = B + X0, где B € Х0 . Пусть B = (b1,b2, ..., bN). Тогда

Ai1b1 + Ai2b2 + ... + AinBN = 0, I = 1, 2, ...,M. (6)

Прибавляя почленно к каждому их равенств (6) соответствующие равенства (4) получим систему верных равенств:

Ai1(b1 + g1) + Ai2(b2 + g2) + ... + Ain(bN + gN) = Bi , I = 1, 2, ...,M.

Отсюда следует, что вектор А = B + X0 = (b1 + g1, b2 + g2, bN + gN) является решением системы (1) и А € Х. Поэтому Х0 + Х0 Í Х. Следовательно, по определению равенства множеств Х = Х0 + Х0.

Следствие 1. Любое решение X Системы (1) Единственным образом Представляется в виде X = AR+1X1 + AR+2X2 + ...+ ANXN-R + Х0, Где AI € P, I = R+1, ...,N; X1, X1, ..., XN-r - Фундаментальная система решений соответствующей с данной системы (2), Х0 - какое-нибудь решение системы (1).

Следствие 2. Совместная СЛУ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соответствующая ей система имеет единственное решение.

< Предыдущая		Следующая >