77. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

A: A1X + B1Y + C1Z + D1 = 0,

B: A2X + B2Y + C2Z + D2 = 0,

G: A3X + B3Y + C3Z + D3 = 0,

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0, A32 + B32+ C32 ≠ 0. Рассмотрим систему трех уравнений

(5)

И матрицы

.

Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. Rang A = Rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. Rang A = Rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. Rang A = Rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).

4. Rang A =2, Rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. Rang A =1, Rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

< Предыдущая		Следующая >